7.2.slide

多项式环环（下）广州大学信息安全研究所February24,2008广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式§7.3多项式环广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定义设R是有单位元的交换环，x是一个不定元，形式和a0+a1x+a2x2+


+anxn（其中ai2R;n是非负整数）称为环R上的一个多项式。通常用符号f(x);g(x)等表示多项式，R上的多项式全体记成R[x].广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式1在多项式f(x)=Pni=0aixi中，ai称为xi的系数;2当ai=0时，规定aix=0，这一项在f(x)的表达式中可以略去;3若an6=0，则称n为多项式f(x)的次数，并记为deg(f);4若deg(f)=n，则称an的系数为f(x)的首项系数;5零次多项式为非零常数，对多项式0不定义次数。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式1在多项式f(x)=Pni=0aixi中，ai称为xi的系数;2当ai=0时，规定aix=0，这一项在f(x)的表达式中可以略去;3若an6=0，则称n为多项式f(x)的次数，并记为deg(f);4若deg(f)=n，则称an的系数为f(x)的首项系数;5零次多项式为非零常数，对多项式0不定义次数。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式1在多项式f(x)=Pni=0aixi中，ai称为xi的系数;2当ai=0时，规定aix=0，这一项在f(x)的表达式中可以略去;3若an6=0，则称n为多项式f(x)的次数，并记为deg(f);4若deg(f)=n，则称an的系数为f(x)的首项系数;5零次多项式为非零常数，对多项式0不定义次数。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式1在多项式f(x)=Pni=0aixi中，ai称为xi的系数;2当ai=0时，规定aix=0，这一项在f(x)的表达式中可以略去;3若an6=0，则称n为多项式f(x)的次数，并记为deg(f);4若deg(f)=n，则称an的系数为f(x)的首项系数;5零次多项式为非零常数，对多项式0不定义次数。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式1在多项式f(x)=Pni=0aixi中，ai称为xi的系数;2当ai=0时，规定aix=0，这一项在f(x)的表达式中可以略去;3若an6=0，则称n为多项式f(x)的次数，并记为deg(f);4若deg(f)=n，则称an的系数为f(x)的首项系数;5零次多项式为非零常数，对多项式0不定义次数。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式1在多项式f(x)=Pni=0aixi中，ai称为xi的系数;2当ai=0时，规定aix=0，这一项在f(x)的表达式中可以略去;3若an6=0，则称n为多项式f(x)的次数，并记为deg(f);4若deg(f)=n，则称an的系数为f(x)的首项系数;5零次多项式为非零常数，对多项式0不定义次数。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定义设f(x)=nXi=0aixi;g(x)=mXi=0bixi，如果m=n,且ai=bi;i=0;


;m，则称f(x)于g(x)相等，并记为f(x)=g(x).广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定义对环R上的两个多项式f(x)=nXi=0aixi;g(x)=mXi=0bixi;nm;令bn=bn1=


=bm+1=0,定义加法和乘法f(x)+g(x)=nPk=0(ak+bk)xif(x)g(x)=m+nPk=0ckxk;ck=Pi+j=kaibj广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理R[x]关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当R为整环时，R[x]也为整环。设f(x)=nPi=0aixi;g(x)=mPj=0bjxj，且an6=0;bm6=0；f(x)
g(x)=n+mPk=0ckxk；f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm；由于R无零因子，所以anbm6=0；f(x)g(x)6=0。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理R[x]关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当R为整环时，R[x]也为整环。设f(x)=nPi=0aixi;g(x)=mPj=0bjxj，且an6=0;bm6=0；f(x)
g(x)=n+mPk=0ckxk；f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm；由于R无零因子，所以anbm6=0；f(x)g(x)6=0。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理R[x]关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当R为整环时，R[x]也为整环。设f(x)=nPi=0aixi;g(x)=mPj=0bjxj，且an6=0;bm6=0；f(x)
g(x)=n+mPk=0ckxk；f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm；由于R无零因子，所以anbm6=0；f(x)g(x)6=0。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理R[x]关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当R为整环时，R[x]也为整环。设f(x)=nPi=0aixi;g(x)=mPj=0bjxj，且an6=0;bm6=0；f(x)
g(x)=n+mPk=0ckxk；f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm；由于R无零因子，所以anbm6=0；f(x)g(x)6=0。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理R[x]关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当R为整环时，R[x]也为整环。设f(x)=nPi=0aixi;g(x)=mPj=0bjxj，且an6=0;bm6=0；f(x)
g(x)=n+mPk=0ckxk；f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm；由于R无零因子，所以anbm6=0；f(x)g(x)6=0。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理R[x]关于多项式的加法和乘法构成一个环，且当R为整环时，R[x]也为整环。设f(x)=nPi=0aixi;g(x)=mPj=0bjxj，且an6=0;bm6=0；f(x)
g(x)=n+mPk=0ckxk；f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm；由于R无零因子，所以anbm6=0；f(x)g(x)6=0。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式推论R是无零因子环，f(x);g(x)2R[x]，则degf(x)g(x)=degf(x)+degg(x)。注意这个众所周知的结论在有零因子环上并不成立。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式推论R是无零因子环，f(x);g(x)2R[x]，则degf(x)g(x)=degf(x)+degg(x)。注意这个众所周知的结论在有零因子环上并不成立。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理设f(x);g(x)2F[x]，则存在q(x);r(x)2F[x]使得f(x)=q(x)g(x)+r(x);其中r(x)=0或degr(x)degg(x).请自行证明；这个结论对环R上的多项式环R[x]并不成立。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理设f(x);g(x)2F[x]，则存在q(x);r(x)2F[x]使得f(x)=q(x)g(x)+r(x);其中r(x)=0或degr(x)degg(x).请自行证明；这个结论对环R上的多项式环R[x]并不成立。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理设f(x);g(x)2F[x]，则存在q(x);r(x)2F[x]使得f(x)=q(x)g(x)+r(x);其中r(x)=0或degr(x)degg(x).请自行证明；这个结论对环R上的多项式环R[x]并不成立。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理设f(x);g(x)2F[x],f(x);g(x)
为f(x);g(x)的最大公因子，则存在m(x);n(x)2F[x]，使得f(x);g(x)
=m(x)f(x)+n(x)g(x):若mindegf(x);degg(x) =n,则在辗转相除中，最多经过n次带余除法就可以求出f(x);g(x)
.请自行证明。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理设f(x);g(x)2F[x],f(x);g(x)
为f(x);g(x)的最大公因子，则存在m(x);n(x)2F[x]，使得f(x);g(x)
=m(x)f(x)+n(x)g(x):若mindegf(x);degg(x) =n,则在辗转相除中，最多经过n次带余除法就可以求出f(x);g(x)
.请自行证明。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理F[x]中任一理想都是主理想。1设I是F[x]中任一非零理想，其中次数最低的多项式为f(x);2对I中的任一个多项式g(x),利用带余除法得到g(x)=f(x)q(x)+r(x);r(x)=0或degr(x)degf;3r(x)=g(x)f(x)q(x)2I；4由于f(x)是I中次数最低的，所以r(x)=0。5If(x)
，而显然f(x)
I，有I=f(x)
。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理F[x]中任一理想都是主理想。1设I是F[x]中任一非零理想，其中次数最低的多项式为f(x);2对I中的任一个多项式g(x),利用带余除法得到g(x)=f(x)q(x)+r(x);r(x)=0或degr(x)degf;3r(x)=g(x)f(x)q(x)2I；4由于f(x)是I中次数最低的，所以r(x)=0。5If(x)
，而显然f(x)
I，有I=f(x)
。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理F[x]中任一理想都是主理想。1设I是F[x]中任一非零理想，其中次数最低的多项式为f(x);2对I中的任一个多项式g(x),利用带余除法得到g(x)=f(x)q(x)+r(x);r(x)=0或degr(x)degf;3r(x)=g(x)f(x)q(x)2I；4由于f(x)是I中次数最低的，所以r(x)=0。5If(x)
，而显然f(x)
I，有I=f(x)
。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》多项式环多项式环根，重根本原多项式定理F[x]中任一理想都是主理想。1设I是F[x]中任一非零理想，其中次数最低的多项式为f(x);2对I中的任一个多项式g(x),利用带余除法得到g(x)=f(x)q(x)+r(x);r(x)=0或degr(x)degf;3r(x)=g(x)f(x)q(x)2I；4由于f(x)是I中次数最低的，所以r(x)=0。5If(x)
，而显然f(x)
I，有I=f(x)
。广州大学信息安全研究所裴定一、徐详《信息安全数学基础》