6.4-双星系统

1.双星问题众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着中间的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星．(1)两星的运行轨道为同心圆；(2)两星的转动周期(角速度)相同．(3)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1＋r2＝L；图6­1例如图，质量分别是m1和m2的两颗相距较近的恒星组成双星系统．它们间的距离为L.求：1.双星轨道半径之比r1：r22.双星系统的角速度ω双星系统的特点1．双星绕它们共同的圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变；2．两星之间的万有引力提供各自需要的向心力；3．双星系统中每颗星的角速度相等；4．两星的轨道半径之和等于两星间的距离．1．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，A和B两者中心之间距离为L.引力常量为G.求两星球做圆周运动的周期T．图6­22.双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)根据万有引力定律和牛顿运动定律，有Gm1m2r2＝m1ω21r1③Gm1m2r2＝m2ω22r2④联立以上各式解得r1＝m2rm1＋m2⑤根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2πT⑥联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝4π2T2Gr3.根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2πT⑥联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝4π2T2Gr3.【答案】m1＋m2＝4π2T2Gr3三星系统宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【解析】(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1＝Gm2R2，F2＝Gm22R2，F1＋F2＝mv2/R，运动星体的线速度v＝5GmR2R.设周期为T，则有T＝2πRv，T＝4πR35Gm.(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝r/2cos30°.由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有F合＝2Gm2r2cos30°，F合＝m4π2T2R′，所以r＝(125)R≈1.34R.【答案】(1)5GmR2R4πR35Gm(2)1.34R宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G.(1)求星体做匀速圆周运动的轨道半径；(2)若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度；(3)求星体做匀速圆周运动的周期．【解析】(1)由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝22a.(2)由万有引力定律可知Gmm′R2＝m′g，则星体表面的重力加速度g＝GmR2.(3)星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm22a2＋2Gm2a2cos45°＝m·22a·4π2T2，解得周期T＝2πa2a4＋2Gm.【答案】(1)22a(2)GmR2(3)2πa2a4＋2Gm【解析】(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，则对于星球B：GMmL2＝M4π2T2r1，对于星球A：GMmL2＝m4π2T2r2，其中r1＋r2＝L，由以上三式可得：T＝2πL3GM＋m.(2)对于地月系统，若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知地球和月球的运行周期T1＝2πL3GM＋m.若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力与天体运动的关系：GMmL2＝m4π2T22L，解得T2＝4π2L3GM，则T22T21＝M＋mM＝1.012.【答案】(1)2πL3GM＋m(2)1.012宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G.(1)求星体做匀速圆周运动的轨道半径；(2)若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度；(3)求星体做匀速圆周运动的周期．【解析】(1)由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝22a.(2)由万有引力定律可知Gmm′R2＝m′g，则星体表面的重力加速度g＝GmR2.(3)星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：Gm22a2＋2Gm2a2cos45°＝m·22a·4π2T2，解得周期T＝2πa2a4＋2Gm.【答案】(1)22a(2)GmR2(3)2πa2a4＋2Gm2．如图6­2所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.图6­2(1)求两星球做圆周运动的周期．(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留三位小数)【解析】(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，则对于星球B：GMmL2＝M4π2T2r1，对于星球A：GMmL2＝m4π2T2r2，其中r1＋r2＝L，由以上三式可得：T＝2πL3GM＋m.(2)对于地月系统，若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知地球和月球的运行周期T1＝2πL3GM＋m.若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力与天体运动的关系：GMmL2＝m4π2T22L，解得T2＝4π2L3GM，则T22T21＝M＋mM＝1.012.【答案】(1)2πL3GM＋m(2)1.012综合解题方略——双星问题的分析方法(2013·徐州高一期末)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)【审题指导】双星系统中的每一颗恒星做圆周运动时的向心力均由它们之间的万有引力提供，在相等的时间内转过的角度相等，即有相同的角速度．【规范解答】设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2.根据题意有ω1＝ω2①r1＋r2＝r②根据万有引力定律和牛顿运动定律，有Gm1m2r2＝m1ω21r1③Gm1m2r2＝m2ω22r2④联立以上各式解得r1＝m2rm1＋m2⑤根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝2πT⑥联立③⑤⑥式解得m1＋m2＝4π2T2Gr3.【答案】m1＋m2＝4π2T2Gr3双星系统的特点1．双星绕它们共同的圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变；2．两星之间的万有引力提供各自需要的向心力；3．双星系统中每颗星的角速度相等；4．两星的轨道半径之和等于两星间的距离．【备选例题】(教师用书独具)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？【解析】(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有F1＝Gm2R2，F2＝Gm22R2，F1＋F2＝mv2/R，运动星体的线速度v＝5GmR2R.设周期为T，则有T＝2πRv，T＝4πR35Gm.(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝r/2cos30°.由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有F合＝2Gm2r2cos30°，F合＝m4π2T2R′，所以r＝(125)R≈1.34R.【答案】(1)5GmR2R4πR35Gm(2)1.34R综合解题方略——卫星、飞船的变轨问题如图6­5­5所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是()图6­5­5A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度【规范解答】由GMmr2＝mv2r＝mrω2得，v＝GMr，ω＝GMr3，由于r1＜r3，所以v1＞v3，ω1＞ω3，A、B错；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，同理卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度，C错，D对．【答案】D卫星变轨问题的处理技巧1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，由此可见轨道半径r越大，线速度v越小．当由于某原因速度v突然改变时，若速度v突然减小，则F＞mv2r，卫星将做近心运动，轨迹为椭圆；若速度v突然增大，则F＜mv2r，卫星将做离心运动，轨迹变为椭圆，此时可用开普勒第三定律分析其运动．2．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度也相同．