时间序列平滑预测

实验3：时间序列平滑预测3.1实验目的1、了解移动平均法和指数平滑法的基本概念，基本原理；2、掌握一次移动平均法，二次移动平均法，单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测模型形式，适用条件及内在机理；3、掌握利用Excel软件实现一次移动平均法，二次移动平均法操作步骤；4、掌握利用Eviews软件实现单指数平滑，双指数平滑和霍尔特指数平滑法预测的操作流程。3.2实验原理3.2.1移动平均法移动平均法是根据一段时间序列的样本资料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均数，来预测序列趋势的一种平滑方法。它是最简单的自适应预测模型，主要包括一次移动平均和二次移动平均两种方法。（一）一次移动平均法一次移动平均法又称简单移动平均法，它是根据序列特征，计算一定项数的算术平均数作为序列下一期的预测值，这种方法随着时间的推移逐渐纳入新的数据同时去掉历史数据。（1）计算公式：设时间序列为：12,,,txxx一次移动平均的计算公式为：111()ttttnSxxxn式中：tS为第t期移动平均数；n为移动平均的项数。公式表明时间t每向前移动一个时期，一次移动平均便增加一个新近数据，去掉一个远期数据，得到一个新的平均数。这种边移动变平均的方法被称为一次移动平均法。通过推到我们可以得到一次移动平均法递推公式：11()ttttnSSxxn公式说明每一新预测值是对前一移动平均预测值的修正。（2）预测公式为：11ˆtttFxS即以第t期移动平均数作为第t+1期的预测值。（3）特点：该预测方法简单易行，当序列的实际值波动较大时，我们通常会通过移动平均法减弱随机波动性，消除随机干扰，以帮助进行序列实际趋势的分析；移动平均的项数n的选择至关重要，n越大，修匀的程度也越大，移动平均后的序列波动程度越小。反之，如果n越小，对原序列的改变就越小。实际中n到底取多大，应该根据时间序列具体情况作出选择择。较有效的方法是取尽量多的n值进行试算，然后比较预测的均方误差21()1ntttkMSExFnk，计算最小的均方误差的具体移动平均项数n便是最优的。（3）应用条件：一次移动平均法主要应用于平稳时间序列的预测，对于具有明显递增、递减趋势的时间序列一次移动平均预测法会有滞后偏差。（二）二次移动平均法1、二次移动平均法：当时间序列具有明显递增，递减变动趋势时，用一次移动平均法预测就会出现滞后偏差。需要进行修正，修正方法在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均，然后建立线性趋势预测模型来修正滞后偏差。2、计算公式：一次移动平均数为：(1)111()ttttnSxxxn二次移动平均：(2)(1)(1)(1)111()ttttnSSSSn其递推公式为(2)(2)(1)(1)11()ttttnSSSSn（三）预测模型二次移动平均的预测模型是利用滞后偏差建立直线趋势预测模型，模型形式如下：ˆtTtTttFxabT其中系数ta、tb的表达式为：(1)(2)2tttaSS，(1)(2)2()1tttbSSnT是距离最近一期的样本周期长度。3.2.2指数平滑法移动平均法存在将最近n期数据等权看待的缺点，而对t-N期以前的数据完全忽视，这往往不符合实际。为了改进上述缺点提出了指数平滑法。指数平滑法发展到现在有许许多多方法，这里我们主要讲Eviews5.0能实现的单指数平滑，双指数平滑，Holt-Winters无季节指数模型，Holt-Winters加法指数模型，，Holt-Winters乘法指数模型。3.2.2．1单指数平滑法（一）单指数平滑法如果序列前一期预测值加上前期预测值中产生误差的修正值则为指数平滑法。即：1、预测模型：1(1)tttFxF给定修正系数，第t+1期预测值是t期预测值与t期观测值的加权平均数。单指数平滑预测模型是由一次移动平均法得来的：因为一次移动平均公式为111()ttttnSxxxn111()tttntntnxxxxxn11111()tttntntnxxxxxnnn又因为111ˆ()ttttntnxFxxxn所以11ttttnSxFxnn，用tF近似代替tnx整理得111(1)tttFxFnn令1n，便得到1(1)tttFxF所以指数平滑预测模型实质是第t+1期的预测值是第t期的实际值和第t期的预测值的加权平均数。对此模型1(1)tttFxF可以重新排列，1()ttttFFxF，所以第t+1期的预测值是第t期的预测值加上第t期的实际值与第t期的预测值的修正值。2、递推公式：1(1)tttFxF因为111(1)tttFxF所以111(1)((1))ttttFxxF整理得：2111(1)(1)ttttFxxF我们再将1tF、2tF、3tF，带入上述模型整理得：231112311(1)(1)(1)(1)(1)nnttttttntnFxxxxxF这里系数的范围01，所以第t+1期的预测值是第t期、t-1期、t-2期、、t-n+1期的加权平均数，其权重按几何级数递减，越靠近预测期，权重越大。越远离预测期，权重越小。3、初始预测值的选择和加权系数的确定平滑模型的初始预测值是由预测者估计的。一般给定的原则（1）当时间序列的数据较多，初始预测值值对以后的预测值影响很小，用最初一期数据做为初始值；（2）如果时间序列的数据中等，一般以最初几期的实际值的算数平均数作为初始预测值；（3）如果时间序列的数据长度充分大，初始预测值可以任意给定。加权系数的确定直接影响预测结果，所以的取值是否恰当直接影响预测结果和精度，的取值范围为01，这区间的数据有许许多多，值既代表预测模型对时间序列数据变化的反应速度，又决定预测模型修匀误差的能力。实际中确定的值方法有许多，这里讲两种常用的方法：（1）直接给定法。这种方法是根据所研究序列特征直接赋予平滑系数的具体值，当序列变化幅度较小时，我们要选取较小的，反之，当序列变化幅度较大，变化迅速时，要选取较大的靠近1的值。（2）间接均方误差法。先将平滑系数离散化，在[0,1]之间按一定的步长取的值，然后计算每一期的预测值，根据均方误差公式21()1ntttkMSExFnk计算每一次的值，均方误差值最小的那个平滑系数便是最优的。3.2.2．2双指数平滑法双指数平滑法的原理与二次移动平均法类似，当时间序列具有明显递增、递减变动时，单指数平滑预测法会存在明显滞后偏差所以此时要进行二次指数平滑，即双指数平滑法。双指数平滑法的预测模型tTttFabT其中T是预测期距离第t期的时期数，一般情况下t期取样本数据最近的一期，截距ta和斜率tb的计算公式如下：(1)(2)2tttaSS(1)(2)()1tttbSS(1)tS是一次指数平滑值，(2)tS为二次指数平滑值(1)(1)1(1)tttSxS(2)(1)(2)1(1)tttSSS3.2.2．3Holt-Winters无季节指数模型这种方法与双指数平滑法一样，主要用于具有线性趋势，但无季节变动的时间序列的预测，预测模型为：tTttFabT模型中ta、tb由以下公式决定：11(1)()ttttaxab11()(1)ttttbaab两个系数、，其范围都在0~1之间。3.2.2．4Holt-Winters加法指数模型，Holt-Winters加法指数模型主要用于具有线性趋势、季节性，且这种变化以加法形式叠加的序列预测。预测模型为：tTtttTFabTI11()(1)()tttLttaxIab11()(1)ttttbaab()(1)ttttLIxaIttabT是趋势因素，I为季节指数，L是季节长度3.2.2．5Holt-Winters乘法指数模型Holt-Winters乘法指数模型与二次指数相类似，主要用于具有线性趋势、季节性，且这种变化以乘法形式叠加的序列预测。预测模型为：()tTtttTLFabTI模型中ta、tb和tI的表达式为：11(1)()tttttLxaabI11()(1)ttttbaab(1)tttLtxIIa这里有三个系数、、，其范围都在0~1之间，I为季节指数，L是季节长度，T的含义与前面的相同。3.3实验数据移动平均法表（1）显示了某公司1993~2012年销售量数据年份销售量（万元）19936.519947.819957.319968.719976.719986.619998.620008.120019.120028.720037.120046.820057.120067.820078.320089.320098.620107.820117.520127.9用移动平均法预测2013年该企业销售量。某公司2001~2011年的产品销售量数据如下表所示，根据数据特点采用指数平滑法预测该公司2012年的销售量。表（2）年份销售量（万台）20011752002172200318020041922005201200621020072202008227200923520102322011240表（3）为2005年1季度~2012年4季度某汽车公司销售季度统计数据，试用Holt-Winters指数平滑法预测2013年该汽车公司1~4季度的销售额。表（3）年份季度销售额（万辆）20051102.220052109.920053112.120054122.820061131.120062133.32006312120064123.720071139.720072162.220073139.32007417420081185.920082195.720083172.920084178.32009121920092230.120093221.920094230.920101268.520102268.120103206.420104226.42011127120112362.420113369.62011436420121466.220122468.620123402.8201245073.4实验过程表（1）的实验步骤步骤1：利用2007版的Excel绘制时序图选中数据区域A1：B21，点击Excel软件菜单中的【插入】，从下拉菜单中点【散点图】，选择第一个散点图样式，单击后得到如下散点图散点图比较平稳，没有递增或递减趋势，所以应选择一次移动平均法。步骤2：单击主菜单中的【数据】，在下来菜单中点数据分析，出现如下对话框，选择移动平均。点确定得如下对话框：在“输入区域”中按鼠标左键从B2拖动到B21，同理在“输出区域”中选择一段空白格以存储平均后的序列，间隔即移动平均中所选择的步长，这里我们给予步长值为3，选中“图表输出”和“标准误差”，点击“确定”，即得到步长为3的一次移动平均值、线性图及其标准误差。步骤3：根据输出结果和预测模型得到未来的预测值实际操作中我们会根据数据特点和长度选择不同的间隔值，通过对比均方误差的大小，选择恰当的步长值，本例通过对比最后得出步长为3时的均方误差最小，所以根据一次移动平均预测模型的计算公式可知，2013年该企业的销售量为7.733333333万元。步骤4：用二次移动平均法预测表（2）2012年企业销售量首先按一次移动平均步骤得到一次移动平均值其次在一次移动平均值的基础上再进行一次平均，结果如下：根据二次移动平均计算公式可以得到2013年企业销售量的预测值为：241.5778表（2）的实验步骤如下：步骤1：观察序列特征，绘制时序图点数据对象工具条的View-