Lyapunov方程求解

广西大学实验报告纸学院：电气工程学院专业：自动化成绩：组员：班级：实验地点：808实验室2015年12月18日实验内容：Lyapunov方程求解【实验目的】1、掌握求解Lyapunov方程的一种方法，了解并使用MATLAB中相应函数。【实验设备与软件】1、硬件：PC机一台；软件：MATLAB/Simulink。【实验原理】1、线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据线性定常连续系统为渐进稳定的充要条件是：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：QPAPAT该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根都是负实数或实部为负的复数，亦即全部根都位于左半复平面。线性定常离散系统为渐进稳定的充要条件：对给定的任一个正定对称阵Q，都存在唯一的对称正定阵P，满足如下矩阵Lyapunov方程：QPPGGT该条件在传递函数最小实现下等价于：全部特征根的摸均小于1，即都在单位圆内。2、在MATLAB控制工具箱中，函数lyap和dlyap用来求解lyapunov方程。P=lyap（TA,Q)可解连续时间系统的lyapunov方程，其中，Q和A为具有相同维数的方阵（A是系统矩阵）。如果Q是对称的，则解P也是对称的。P=dlyap（TG，Q）可解离散时间系统的lyapunov方程，其中，Q和G为具有相同维数的方阵(G是系统矩阵)。如果Q是对称的，则解P也是对称的。3、连续情况下的最小相位系统：系统的零点均在左半复平面，但系统首先是稳定的，其他情况为非最小相位系统。【实验内容、方法、过程与分析】题目1实验内容：输入连续状态空间模型DC,B,A,:0,1100,0001,0100001000014283DCBA（1）选取正定矩阵1000010000100001Q,求稳定性判别矩阵P，判定系统是否稳定。QPAPAT（2）求线性系统阶跃响应曲线，并判定是否为最小相位系统，（3）求系统的实现，判定是否是最小实现并比较。题目1实验过程及结果分析：根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的.m文件程序：①、由实验.m文件程序运行后结果：A=[-3-8-2-4;1000;0100;0010];B=[1;0;0;0];C=[0011];D=0;Q=[1000;0100;0010;0001];p=lyap(A',Q)y=ss(A,B,C,D)[V,X]=eig(A)step(y)得到正定矩阵P：②、由题意得出系统的响应曲线：由图可知：该系统是渐进稳定的。求特征根x=Columns1through2-1.4737+2.2638i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-1.4737-2.2638i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000iColumns3through40.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0263+0.7399i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0263-0.7399i由结果可以得出，此系统特征根的实部全部都为负数，亦全部的根都在左边平面。所以该系统为最小相位系统。所以，根据题意，更改A矩阵，求其阶跃响应曲线，并进行比较得：之前的A矩阵：更改之前的特征值：x=Columns1through2-1.4737+2.2638i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-1.4737-2.2638i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000iColumns3through40.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0263+0.7399i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0263-0.7399i更改前的阶跃响应：更改之后的A矩阵：更改之后的特征值：X=4.7926+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-1.7297+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0315+0.6939i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0315-0.6939i更改后的阶跃响应：对比特征值可知，更改矩阵A后特征根有一个为正数，即在右半平面；对比阶跃响应图可知，更改矩阵A后，其阶跃响应为发散的。2、输入离散状态空间模型DC,H,G,0,100,321,001323031DCHG(1)选定正定矩阵100010001Q,求稳定性判别矩阵P。(2)请定义离散情况下的最小相位系统。(3)求线性系统阶跃响应曲线，并按你所定义的判别矩阵是否为最小相位系统。根据题意，在实验中，先通过运算可以得出结果，根据结果做出如下的c文件程序：①、由实验c文件程序运行后结果：G=[130;-3-2-3;100];H=[1;2;3];C=[001];D=0;Q=[100;010;001];P=dlyap(G',Q)y=ss(G,H,C,D)[V,X]=eig(G)step(y)得到矩阵P：（2）、请定义离散情况下的相位系统对于线性定常离散系统，全部特征根的模均小于1，即都在单位圆内，才能认为是最小相位系统。由CV明显可看出不满足上述条件,且通过图形可知，系统不稳定。现改变G的值：由图可知，阶跃响应最终稳定，满足线性定常离散系统的条件，即极点均为于单位圆内。【实验总结】2、通过本次实验了解并掌握了Lyapunov方程的一种用MATLAB求解的方法，并熟悉了线性定常系统渐进稳定的Lyapunov方程判据和求解lyapunov方程的一些函数。