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第29讲图形的轴对称1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做__轴对称图形__，这条直线就是它的__对称轴__．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做__对称轴__，折叠后重合的点是对应点．2．图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的__垂直平分线__．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的__垂直平分线__．对应线段、对应角__相等__．3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴__垂直平分__．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做__轴对称变换__．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．4．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段的端点)，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．因此，它们是部分与整体、形状与位置的关系，是可以辩证地互相转化的．失误与防范(1)判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合；若能找到，则是轴对称图形，若找不到则不是．(2)如果图形是由直线、线段或射线组成的，那么在画出它关于一条直线的对称图形时，只要画出图形中的特殊点(如线段的端点、角的顶点等)的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．1．(2013·丽水)如图，AB∥CD，AD和BC相交于O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C)A．80°B．70°C．60°D．50°2．(2014·杭州)已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝__∠B__．3．(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝__70__度．4．(2012·嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于(A)A．40°B．60°C．80°D．90°5．(2013·湖州)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__度．解：(1)解：设AB＝2x，BC＝3x，则CD＝4x，由题意得4x＝16，∴x＝4，∴AD＝2×4＋3×4＋4×4＝36(cm)，∵M为AD的中点，∴MD＝12AD＝12×36＝18(cm)，∵MC＝MD－CD，∴MC＝18－16＝2(cm)(2)AB∶BM＝(2×4)∶(3×4－2)＝4∶5线段的计算【例1】如图，B，C两点把线段AD分成2∶3∶4三部分，M是线段AD的中点，CD＝16cm.求：(1)MC的长；(2)AB∶BM的值．【点评】在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确解题的前提条件；②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式或方程来解答．1．(1)(2012·菏泽)已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝3cm，则线段AC＝__11_cm或5_cm__．(2)如图，已知AB＝40cm，C为AB的中点，D为CB上一点，E为DB的中点，EB＝6cm，求CD的长．解：∵E为BD的中点，∴BD＝2BE＝2×6＝12，又∵C为AB的中点，∴BC＝AB＝×40＝20，∴CD＝BC－BD＝20－12＝8(cm)－3－102－3┄┄(－1，－3)(0，－3)(2，－3)－1(－3，－1)┄┄(0，－1)(2，－1)0(－3，0)(－1，0)┄┄(2，0)2(－3，2)(－1，2)(0，2)┄┄所有等可能的情况有12种，其中点(x，y)落在第二象限内的情况有2种，则P＝212＝16解析：摸到白球的概率为P＝10100＝110，设口袋里共有n个球，则5n＝110，得n＝50，所以红球数为50－5＝45，选A【点评】本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．【例2】(2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有(A)个A．45B．48C．50D．55解：(1)将点A(2，3)代入解析式y＝kx，得k＝6(2)将D(3，m)代入反比例解析式y＝6x，得m＝63＝2，∴点D坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y＝kx＋b，将A(2，3)与D(3，2)代入得2k＋b＝3，3k＋b＝2，解得k＝－1，b＝5，则直线AD解析式为y＝－x＋5(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为点N，延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即OCOB＝12，∴S△OCNS△OBM＝(12)2，∵A，C都在双曲线y＝6x上，∴S△OCN＝S△AOM＝3，由33＋S△AOB＝14，得到S△AOB＝9，则△AOB面积为94．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOAB＝23，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝__8__．解析：过A作AE⊥x轴于点E.∵S△OAE＝S△OCD，∴S四边形AECB＝S△BOD＝21，∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴S△OAES△OBC＝S△OAES△OAE＋S四边形AECB＝(AOOB)2＝425，∴S△OAE＝4，则k＝8(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝k1x和y＝k2x的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：①AMCN＝|k1||k2|；②阴影部分面积是12(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的是__①④__．(把所有正确的结论的序号都填上)解析：作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB＝S△COB，∴AE＝CF，∴OM＝ON，∵S△AOM＝12|k1|＝12OM·AM，S△CON＝12|k2|＝12ON·CN，∴AMCN＝|k1||k2|，所以①正确；∵S△AOM＝12|k1|，S△CON＝12|k2|，∴S阴影部分＝S△AOM＋S△CON＝12(|k1|＋|k2|)，而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分＝}，所以②错误；当∠AOC＝90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM＝ON，∴不能判断△AOM≌△OCN，∴不能判断AM＝CN，∴不能确定|k1|＝|k2|，所以③错误；若OABC是菱形，则OA＝OC，而OM＝ON，∴Rt△AOM≌Rt△CON，∴AM＝CN，∴|k1|＝|k2|，∴k1＝－k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，所以④正确．故答案为①④试题已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－12时，y的值．错解解：设y1＝kx2，y2＝kx.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋kx.∴把x＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝32.∴y＝32x2＋32x.当x＝－12时，y＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.答：当x＝－12时，y的值是－218.剖析(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝k2x，用两个不同字母k1，k2来表示两个不同的比例系数．(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．