巧用“f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x”解有关反函数题

巧用“f[f-1(x)]=x,f-1[f(x)]=x”解有关反函数题云南省保山曙光学校周世喜反函数是函数中的一个重要的知识点，掌握反函数的概念，求反函数是高考中必考的内容。但求反函数有时又是比较复杂的，若在实际答题过程中巧用反函数的性质，可收到事半功倍的效果，达到快而准的目的。[性质]若y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为C。则有f[f-1(x)]=x（x∈C）,f-1[f(x)]=x(x∈A)成立。下面通过几道例题介绍该性质的应用：例1.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)＝2x+1，求f(1).分析：（方法一）先求出函数y=f(x)的解析式，再代值求解。（方法二）根据原函数和反函数的关系，列出等式：2x+1=1，解之即得f(1)的值。（方法三）利用性质来解。令f(1)=x,由此可得：f-1[f(1)]=f-1(x)⇒2x+1=1⇒x=-1当然‘方法二’与‘方法三’实质上是一致的，但我认为‘方法三’学生更能理解掌握。例2.已知函数y=f(x)在定义域（－∞，0）内存在反函数，且f(x+1)=x2-2x.求f-1(41)分析：（方法一）由f(x+1)=x2-2x⇒f(x-1)=(x-1)2-1所以f(x)=x2-1x∈(-∞,0)，再求出其反函数f-1(x)=),1(1xx，故f-1(41)=23。（方法二）由f(x+1)=x2-2x⇒f(x-1)=(x-1)2-1所以f(x)=x2-1x∈(-∞,0)，再令f-1(41)＝x⇒f[f-1(41)]=f(x)⇒41=f(x)⇒x2-1=41⇒x2=43⇒x=23例3.已知函数f(x)＝)22(21xx的反函数为f-1(x)，解不等式f-1(x)＞1解：（用性质来解）∵函数f(x)在其定义域（-∞，+∞）上是增函数∴f[f-1(x)]f(1)∴xf(1)∴x)212(21∴x43例4.已知函数f(x)＝xx11log2的反函数为f-1(x)，解不等式f-1(x)＜m(其中m∈R)解：（用性质来解）∵函数f(x)在其定义域（-1，+1）上是增函数∴①当－1＜m1时，有f[f-1(x)]f(m)⇒xmm11log2②当m≤-1时，∵－1＜f-1(x)＜1∴不等式无解③当m≥1时∵－1＜f-1(x)＜1∴不等式的解集为R所以当－1＜m1时原不等式的解集是：（－∞，mm11log2）当m≤-1时原不等式的解集是当m≥1时原不等式的解集是R。例5.已知函数f(x)＝132xx，函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于直线y＝x对称，求g(11)的值。解：（方法一：用性质来解）由y=f-1(x+1)⇒f(y)=x+1⇒x=f(y)-1∴g(x)=f(x)-1=14xx∴g(11)=23111411(方法二：用常规方法来解)由f(x)＝132xx⇒f-1(x)＝23xx⇒f-1(x+1)＝14xx∵函数y=g(x)的图象与函数y=f-1(x+1)的图象关于直线y＝x对称∴函数y=g(x)与函数y=f-1(x+1)互为反函数由y=f-1(x+1)＝14xx得x=14yy∴g(x)=14xx∴g(11)=23111411由以上这些例题可知，能灵活运用相关性质解题的确可以收到事半功倍的效果。