巧用“三线合一”证明题

1等腰三角形巧用“三线合一”证题“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一.直接应用“三线合一”例1.已知，如图1，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高。求证：AD垂直平分EFA12EFBDC图1例2.如图2，ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：ABAK3AKMEBDC图22二.先连线，再用“三线合一”例3.如图3，在ABC中，A90，ABAC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PEAB，PFAC，垂足分别为E、F求证：（1）DE＝DF；（2）DEDFAEFBDPC图3三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”例4.如图4，已知四边形ABCD中，ACBADB90，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MNCDCDAMB图4N3例5.如图5，ABC中，BC、CF分别平分ABC和ACB，AEBE于E，AFCF于F，求证：EF//BCAFE1BC图5M2N一、证明角相等【例1】已知：如图1，在ABC中，ACAB，ADBD于D．求证：DBCBAC2．二、证明线段相等【例2】如图2，ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CDCE，过点D作BEDM，垂直为M．求证：EMBM．图121EDCBA4三、证明直线垂直【例3】（2009·义乌）如图3，在正△ABC中，BCAD于点D，以AD为一边向右作正△ADE．请判断AC、DE的位置关系，并给出证明．例1.等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。图1。例2.已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CEBC12，E在△ABC外，求证：∠ACE=∠B。图2FEDCB图3A5例3.已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：M是BE的中点。图3［练习］1.如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？图42.已知：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：S四边形CEDF＝12SABC△。图5