系统的频率特性

第5章系统的频率特性§5.1频率特性概述§5.2频率特性的极坐标图§5.3频率特性的对数坐标图§5.4最小相位系统§5.5闭环频率特性与频域性能指标§5.6由对数幅频特性曲线求系统传递函数§5.1频率特性概述频率特性：又称频率响应，是系统对不同频率正弦输入信号的稳态响应。§5.1频率特性概述§5.1频率特性概述§5.1频率特性概述§5.1频率特性概述§5.1频率特性概述系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出与输入的幅值之比为|G(jω)|，稳态输出与输入间的相位差为∠G(jω)。()sin[(()])cGtAGtjj)sin()(tAtr()()()()()jGjjGjGjeAe()()AGj频率特性:幅频特性：相频特性：()()Gj频率特性表征了系统输入输出之间的关系，可由频率特性来分析系统性能。§5.1频率特性概述Re()Im()()()GjjGjujv()Re()uGj实频特性：虚频特性：()Im()vGj§5.1频率特性概述几点认识：频率特性有明确的物理意义，可以用实验的手段准确地得到系统的频率响应，当系统传递函数未知时，可以通过测量频率响应来推导系统的传递函数；系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向；频率特性是在系统稳定的条件下分析稳态响应得到的，它与传递函数一样，也表征了系统的运动规律，是系统频域分析的理论依据，但只适应于线性定常连续系统。§5.1频率特性概述1()KGjjT221()KAT频率特性:幅频特性：相频特性：221()KuT实频特性：虚频特性：222211KTKjTT()arctanT221()TKvT频率特性的表示方法§5.1频率特性概述()()()()()jGjjGjGjeAe()()AGj频率特性:幅频特性：相频特性：()()GjRe()Im()()()GjjGjujv()Re()uGj实频特性：虚频特性：()Im()vGj解析表示法图示表示法极坐标图，或称奈奎斯特(Nyquist)图对数坐标图，或称伯德(Bode)图对数幅-相图，或称尼柯尔斯(Nichols)图§5.2频率特性的极坐标图一、极坐标图极坐标图又称奈奎斯特（Nyquist）图，是当ω从0→∞时，表示在极坐标上的G(jω)的幅值与相位角的关系图，或G(jω)端点的轨迹。由于G(jω)是ω的复变函数，故可在复平面上用复矢量表示。矢量的长度为其幅值|G(jω)|，与正实轴的夹角为其相角φ(ω)，在实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。相角φ(ω)的符号规定为从正实轴开始，逆时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。图中ω箭头的方向为ω从小到大的方向。0Re(ω)ω∞Im(ω)ωω=0极坐标图含义极坐标图不仅表示了幅频特性和相频特性，也表示了实频特性和虚频特性。其主要优点是能在一张图上表示出整个频率域中系统的频率特性，在对系统进行稳定性分析及校正时，极为方便。若系统有多个环节组成，在绘制系统极坐标图时，对于每一频率，其幅值和相位角分别为各环节幅值的乘积和各环节相位角的代数和。§5.2频率特性的极坐标图极坐标图的特点§5.2频率特性的极坐标图一般系统都是由典型环节组成的，所以系统的频率特性也都是由典型环节的频率特性组成的。掌握典型环节的频率特性是了解系统的频率特性和分析系统的动态性能的基础。二、典型环节的极坐标图§5.2频率特性的极坐标图1.比例环节0KReIm传递函数：频率特性:()GjK幅频特性:相频特性:22()()AGjuvK0()()arctanvGju()GsK实频特性:虚频特性:()uK0()v极坐标图为实轴上的一点，其坐标为(K,j0)。§5.2频率特性的极坐标图2.积分环节传递函数：频率特性:11()Gjjj幅频特性:相频特性:221()()AGjuv90()()arctanvGju1()Gss实频特性:虚频特性:0()u1()v极坐标图为虚轴的下半轴（即负虚轴），由负无穷远点指向原点。ReIm0ω=0ω=∞ω§5.2频率特性的极坐标图3.微分环节传递函数：频率特性:()Gjj幅频特性:相频特性:22()()AGjuv90()()arctanvGju()Gss实频特性:虚频特性:0()u()v极坐标图为虚轴的上半轴（即正虚轴），由原点指向正无穷远点。ReIm0ω=0ω=∞ω§5.2频率特性的极坐标图4.惯性环节传递函数：频率特性:222211111()TGjjjTTT幅频特性:相频特性:222211()()AGjuvT()()arctanarctanvGjTu11()GsTs实频特性:虚频特性:2211()uT221()-TvT极坐标图为正实轴下的一个半圆，圆心为(1/2,j0)，半径为1/2。ωReIm0ω=011ω=T-45ω∞§5.2频率特性的极坐标图5.一阶微分环节传递函数：频率特性:1()GjjT幅频特性:相频特性:22221()()AGjuvT()()arctanarctanvGjTu1()GsTs实频特性:虚频特性:1()u()vT极坐标图为过(1,j0)点，且平行于虚轴上半部的直线。1ω=∞ReIm0ω=0ω§5.2频率特性的极坐标图6.振荡环节传递函数：频率特性:22221212()()nnnnnGjjj幅频特性:相频特性:222222114()()()AGjuv221()()arctanarctanvGju2222()nnnGsss实频特性:虚频特性:,n令2222222222112121414()()())Gjjj（22222114()()u2222214())v（§5.2频率特性的极坐标图幅频特性:相频特性:2222114()()Gj221()arctanGj当ω从0→∞（即λ由0→∞）时，G(jω)的幅值由1→0，其相位角由0°→－180°。振荡环节极坐标图始于点(1,j0)，而终于原点，曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率ωn，此时的幅值为1/2ξ，曲线在第三、四象限。1ReIm0ω=0ω∞ω=ωnξ=0.4ξ=0.6ξ=0.8ω§5.2频率特性的极坐标图在阻尼比ξ0.707时，幅频特性|G(jω)|在频率ωr（或频率比λr＝ωr/ωn）处出现峰值，如下图所示。此峰值称为谐振峰值Mr，频率ωr称为谐振频率。222()0121()2112()arctanrrnrrrdGjdGjMGj由＝求得故有222()0121()2112()arctanrrnrrrdGjdGjMGj由＝求得故有222()0121()2112()arctanrrnrrrdGjdGjMGj由＝求得故有222()0121()2112()arctanrrnrrrdGjdGjMGj由＝求得故有§5.2频率特性的极坐标图7.二阶微分环节传递函数：频率特性:幅频特性:相频特性:22222214()()()AGjuv221()()arctanarctanvGju实频特性:虚频特性:,n令21()u2()v22222()211nnssGsTsTs2()21nnjjGj2()12Gjj0(0)()1()01()()2()90()()()180nGjGjGjGjGjGj，，，§5.2频率特性的极坐标图222214()()Gj221()arctanGj当ω从0→∞（即λ由0→∞）时，G(jω)的幅值由1→∞，其相位角由0°→180°。极坐标图始于点(1,j0)，而终于无穷远处，曲线与虚轴的交点的频率就是无阻尼固有频率ωn，此时的幅值为2ξ，曲线在第一、二象限。0(0)()1()01()()2()90()()()180nGjGjGjGjGjGj，，，0(0)()1()01()()2()90()()()180nGjGjGjGjGjGj，，，§5.2频率特性的极坐标图8.延时环节传递函数：频率特性:()cossinjGjej幅频特性:相频特性:221()()AGjuv()()arctanvGju()sGse实频特性:虚频特性:()cosu()sinv极坐标图为以原点为圆心，半径为1的圆（无穷多个圆）。1ω=0ReIm0§5.2频率特性的极坐标图三、极坐标图绘制方法频率特性法的最大特点是可以根据系统的开环频率特性曲线分析系统的闭环性能。绘制准确的极坐标图比较麻烦，一般可通过有限的点对其进行概略绘制。绘制极坐标概略图形的一般步骤如下：§5.2频率特性的极坐标图系统开环传递函数一般是由典型环节串联而成的：幅频特性:相频特性:1121(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)miabmikjnpjjKTsKTsTsTsGssTsTsTssTs11(1)()()(1)miikjnjjKjTGjjjT21211()()1()miijnjjKTAT011()90arctanarctanmnijijTT频率特性:例1：画出下列两个0型系统的极坐标图。§5.2频率特性的极坐标图1122123()(1)(1)()(1)(1)(1)KGjjTjTKGjjTjTjT122221211212222221231123()11()arctanarctan()111()arctanarctanarctanKGjTTGjTTKGjTTTGjTTT1122()()00()()0GjKGjGjKGj，，1122123()(1)(1)()(1)(1)(1)KGjjTjTKGjjTjTjT22222221232123()111()arctanarctanarctanKGjTTTGjTTT说明0型系统的极坐标图的起点均位于正实轴的一个有限点(K,0)。122221211212222221231123()11()arctanarctan()111()arctanarctanarctanKGjTTGjTTKGjTTTGjTTT22222221232123()111()arctanarctanarc