空间点、直线、平面之间的位置关系

第八章立体几何初步第1课时空间点、直线、平面之间的位置关系对应学生用书（文）97～99页（理）99～101页考情分析考点新知理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关系．了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理．理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成角.1.(原创)已知点P、Q，平面α，将命题“P∈α，QÏαÞPQËα”改成文字叙述是________．答案：若点P在平面α内，点Q不在平面α内，则直线PQ不在平面α内．解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化．2.(原创)有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号)答案：②③解析：①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误．3.(必修2P28习题1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1平行的对角线有________条.答案：1解析：与AD1平行的对角线仅有1条，即BC1.4.(必修2P31练习12改编)如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝12BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝12AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.5.(必修2P24练习3改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①P∈a，P∈αÞaÌα；②a∩b＝P，bÌβÞaÌβ；③a∥b，aÌα，P∈b，P∈αÞbÌα；④α∩β＝b，P∈α，P∈βÞP∈b.答案：③④解析：当a∩α＝P时，P∈α，P∈α，但aËα，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴PÏa，∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴bÌα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．1.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2.空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内1平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有3.平行直线的公理及定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．[备课札记]题型1平面的基本性质例1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，再画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并且说明理由．解：F∈CD1、F∈平面ACD1、E∈AC、E∈平面ACD1、E∈BD、E∈平面BDC1、F∈DC1、F∈平面DC1B，则EF为所求．备选变式（教师专享）在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连结B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.图(a)(2)∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图(b)．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈0，π2.当α＝π2时，这样的直线m有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m有两条．图(b)题型2共点、共线、共面问题,例2)如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=12AD，BE∥=12FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形．(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥=12AD.又BC∥=12AD，∴GH∥=BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：(解法1)由BE∥=12AF，G为FA中点知，BE∥=FG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．(解法2)如图，延长FE、DC分别与AB交于点M、M′，∵BE∥=12AF，∴B为MA中点．∵BC∥=12AD，∴B为M′A中点．∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．∴C、D、F、E四点共面．变式训练如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面．证明：(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)连结EF，A、B、C、D，∵E、F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．题型3空间直线位置关系问题例3已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.备选变式（教师专享）已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取值范围为________．答案：(7，5)解析：由题意知PO⊥平面ABCD，AB＝3，PB＝4，设PO＝h，OB＝x，则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2，因为0x3，所以725－2x225，所以7PA5.1.(2013·福州检测)给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题是________．(填序号)答案：③④解析：没有公共点的两条直线平行或异面，故命题①错；互相垂直的两条直线相交或异面，故命题②错；既不平行也不相交的直线是异面直线，不同在任一平面内的两条直线是异面直线，命题③、④正确．2.下列命题错误的是________．(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么直线l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.答案：④解析：根据长方体模型可知，④是错的．3.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的是________．(填序号)答案：②③④解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.4.若直线l不平行于平面α，且lËα，则下列命题正确的是________．(填序号)①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．答案：②5.从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确的结论有________个．答案：4解析：四边形ABCD适合(1)，四面体ACB1D1适合(2)，DB1C1D1适合(3)，DA1C1D1适合(4)，因此正确的结论有4个．1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的__________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”)答案：充分不必要解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．2.(2013·南昌模拟)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的是________．(填序号)①过点P有且仅有一条直线与l、m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面．答案：①③④解析：①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l、m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直，这条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P也可能没有一条直线与l、m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l、m都异面，这无数条直线在过点P且与l、m都平行的平面上．3.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求证：M、N、K三点共线．证明：∵M∈PQ，直线PQÌ平面PQR，M∈BC，直线BCÌ平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线l上．同理可证：N、K也在l上．∴M、N、K三点共线．4.已知：a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a、b、c、d共面．证明：证法1：若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a、b、c相交于一点A，∴直线d和A确定一个平面α.又设直线d与a、b、c分别相交于E、F、G，则A、E、F、G∈α.∵A、E∈α，A、E∈a，∴a.同理可证bÌα，cÌα.∴a、b、c、d在同一平面α内．证法2：当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a、b确定一个平面α.设直线c与a、b分别交于点H、K，则H、K∈α.又H、K∈c，∴cÌα.同理可证dÌα.∴a、b、c、d四条直线在同一平面α内．1.证明点线共面的常用方法：一是依据题中所给条件先确定一个平面，然后证明其余的点或线都在面内；二是将所有元素分成几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合；三是采用反证法．2.证明三线共点的方法：通常先证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线是两个平面的一条交线