函数恒成立存在性及有解问题

1函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：afx恒成立maxafx；minafxafx恒成立2、能成立问题的转化：afx能成立minafx；maxafxafx能成立3、恰成立问题的转化：afx在M上恰成立afx的解集为MRafxMafxCM在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若AxfDx)(,在D上恰成立，等价于)(xf在D上的最小值Axf)(min，若,DxBxf)(在D上恰成立，则等价于)(xf在D上的最大值Bxf)(max.4、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmin5、设函数xf、xg，对任意的bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmax6、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfminmax7、设函数xf、xg，存在bax,1，存在dcx,2，使得21xgxf，则xgxfmaxmin8、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方；9、若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方；例题讲解：题型一、常见方法1、已知函数12)(2axxxf，xaxg)(，其中0a，0x．1）对任意]2,1[x，都有)()(xgxf恒成立，求实数a的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21xx，都有)()(21xgxf恒成立，求实数a的取值范围；2、设函数bxxaxh)(，对任意]2,21[a，都有10)(xh在]1,41[x恒成立，求实数b的取值范围．3、已知两函数2)(xxf，mxgx21)(，对任意2,01x，存在2,12x，使得21)(xgxf，则实数m的取值范围为2题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p的所有实数p,求使不等式212xpxpx恒成立的x的取值范围。2、已知函数()ln()(xfxeaa为常数）是实数集R上的奇函数，函数()singxfxx是区间1,1上的减函数，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若2()11,1gxttx在上恒成立，求t的取值范围；题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当1,2x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））1、若对任意xR,不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是________2、已知函数222fxxkx，在1x恒有fxk，求实数k的取值范围。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的minfxB.1、存在实数x，使得不等式2313xxaa有解，则实数a的取值范围为______。2、已知函数21ln202fxxaxxa存在单调递减区间，求a的取值范围3小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。①不等式fxM对xI时恒成立max()fxM，xI。即fx的上界小于或等于M；②不等式fxM对xI时有解min()fxM，xI。或fx的下界小于或等于M；③不等式fxM对xI时恒成立min()fxM，xI。即fx的下界大于或等于M；④不等式fxM对xI时有解max()fxM，xI.。或fx的上界大于或等于M；课后作业：1、设1a，若对于任意的[,2]xaa，都有2[,]yaa满足方程loglog3aaxy，这时a的取值集合为（）（A）2{|1}aa（B）{|}2aa（C）3|}2{aa（D）{2,3}2、若任意满足05030xyxyy的实数,xy，不等式222()()axyxy恒成立，则实数a的最大值是___.3、不等式2sin4sin10xxa有解，则a的取值范围是4、不等式4axxx在0,3x内恒成立，求实数a的取值范围。5、已知两函数2728fxxxc，322440gxxxx。（1）对任意3,3x，都有fxgx)成立，求实数c的取值范围；（2）存在3,3x，使fxgx成立，求实数c的取值范围；（3）对任意12,3,3xx，都有12fxgx，求实数c的取值范围；（4）存在12,3,3xx，都有12fxgx，求实数c的取值范围；6、设函数3221()23(01,)3fxxaxaxbabR.（Ⅰ）求函数fx的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式fxa成立，求a的取值范围。47、已知A、B、C是直线上的三点，向量OA→，OB→，OC→满足：0OC1xlnOB1f2yOA.（1）求函数y＝f(x)的表达式；（2）若x＞0，证明：f(x)＞2xx＋2；（3）若不等式3bm2mxfx21222时，1,1x及1,1b都恒成立，求实数m的取值范围．8、设xln2xqpxxf，且2epqeef（e为自然对数的底数）(I)求p与q的关系；(II)若xf在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III)设xe2xg，若在e,1上至少存在一点0x，使得00xgxf成立,求实数p的取值范围.5函数专题4：恒成立问题参考答案：题型一、常见方法1、分析：1）思路、等价转化为函数0)()(xgxf恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(xf和)(xg分别求最值，即只需满足)()(maxminxgxf即可．简解：（1）由12012232xxxaxaaxx成立，只需满足12)(23xxxx的最小值大于a即可．对12)(23xxxx求导，0)12(12)(2224xxxx，故)(x在]2,1[x是增函数，32)1()(minx，所以a的取值范围是320a．2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方法2：变量分离，)(10xxab或xbxa)10(2；方法3：变更主元，0101)(bxaxa，]2,21[a简解：方法1:对bxxabxxgxh)()(求导，22))((1)(xaxaxxaxh，由此可知，)(xh在]1,41[上的最大值为)41(h与)1(h中的较大者．ababbabahh944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[a，得b的取值范围是47b．3、解析：对任意2,01x，存在2,12x，使得21)(xgxf等价于mxgx21)(在2,1上的最小值m41不大于2)(xxf在2,0上的最小值0，既041m，∴41m题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、解：不等式即21210xpxx,设2121fpxpxx，则fp在[-2,2]上恒大于0，故有：222043031112010fxxxxxxfx或或1x或3x2、(Ⅱ)分析：在不等式中出现了两个字母：及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在,1内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解：由(Ⅰ)知：()fxx，()singxxx，()gx在11，上单调递减，()cos0gxxcosx在11，上恒成立，1，max()(1)sin1gxg，只需2sin11tt，2(1)sin110tt（其中1）恒成立，由上述②结论：可令2(1)sin110(1ftt）,则2t101sin110tt，21sin10ttt，而2sin10tt恒成立，1t。题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）1、当1,2x时，不等式240xmx恒成立，则m的取值范围是.解析:当(1,2)x时，由240xmx得24xmx.∴5m.题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））||yx||yxyaxyaxxyO61、解析：对xR,不等式||xax恒成立、则由一次函数性质及图像知11a，即11a。2、分析：为了使fxk在1,x恒成立，构造一个新函数Fxfxk，则把原题转化成左边二次函数在区间1,时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令222Fxfxkxkxk，则0Fx对1,x恒成立，而Fx是开口向上的抛物线。①当图象与x轴无交点满足0，即24220kk，解得21k。②当图象与x轴有交点，且在1,x时0Fx，则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：010212Fk解得32k，故由①②知31k。小结：若二次函数20yaxbxca大于0恒成立，则有00a，同理，若二次函数20yaxbxca小于0恒成立，则有00a。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的minfxB.1、解：设31fxxx，由23fxaa有解，2min3aafx，又31314xxxx，∴234aa，解得41aa或。2、解：因为函数fx存在单调递减区间，所以2'12120axxfxaxxx0,有解.即2120,axxx能成立,设212uxxx.由2212111uxxxx得,min1ux.于是,1a,由题设0a,所以a的取值范围是,00,1课后作业：1、B。解析：由方程loglog3aaxy可得3ayx，对于任意的[,2]xaa，可得2322aaax，依题意得22