两点之间线段最短

初三一班原静雯前言阅读完两点之间线段最短那篇文章，相信大家对于两点之间线段最短这个简单的公理有了更加深入地了解，应用上，也找到了些方法与思路了吧。又经过了近一年的学习，回过头我们再看两点之间线段最短这个公理，看看我们能不能再发现它的精华。这是上学期的一道周测题目，不知大家还有没有印象。探究问题一如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，M为DC上的一点，且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值。BDACNM解答首先，我想先说一说我拿到这道题时的一些想法和思路。观察已知条件，要求的是DN+MN的最小值，观察图形，这两条线段在同一边，这就很别扭，显得无从下手，于是我便想到了线段等量的转化，由于正方形是轴对称图形，对角线又是它的对称轴，因此，我连接NB，利用全等，把DN转移到BN。于是，便变为了求NB+NM的最小值。解答如图，NB与NM，显然是折线，不难想到，只有运动N点，使得B.M.N三点共线时，NB+NM的值最小，而这一块的思考，我们就利用了两点之间线段最短的公理。确定了N点的位置，下面就是简单的求解了。21EBDACNM解题过程解：连接NB、BM∵四边形ABCD为正方形∴∠1=∠2、AB=AD=DC=8cm=BC,∠DCB=90º在△BAN与△DAN中AB=AD∠1=∠2AN=AN∴△ABN≌△AND(SAS)∴BN=DN即求DN+MN的最小值，则为求NB+NM的最小值21EBDACNM解题过程由两点之间线段最短得连接BM时与AC的交点为最小值设交于E∵DM=2cm∴MC=6cm根据勾股定理BC2+CM2=BM2∴BM=10cm即DN+MN的最小值为10cm。21EBDACNM总结理解了上一题，我们看看这道题，这道题就是上一题简单的变形。它与上一题极为相似，有了上一题的铺垫这道题现在让你做就非常简单了。探究问题二如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，∠A=90º，M为AC上的一点,且AM=2，N是BC上的一动点，求AN+MN的最小值。CABMN思路观察图形，它恰好是上一图形的一半，考虑到要应用对称性，转移线段，从而利用两点之间线段最短这个公理，我们需要翻转三角形ABC，使得构成一个正方形，从而利用上一题的思路解题。解题过程解：以BC为轴翻转△ABC到△DBC连接ND，MD交BC于E∴AC=DC=8，∠ABC=∠DCB在△ACN与△DCN中AC=DC∠ABC=∠DCBCN=CN∴△ACN≌△DCN(SAS)∴AN=DN即求AN+NM的最小值则为求MN+ND的最小值ECABMN解题过程根据两点之间线段最短∴当N在E点时,MN+ND的值最小∵△ABC为等腰三角形，AM=2∴∠ABC=∠BCD=45ºMC=6∴∠MCD=90º根据勾股定律MC2+DC2=MD2∴MD=10即AN+MN的最小值为10。ECABMN探究问题三在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60º，E为AB的中点，F是AC上一动点，求EF+BF的最小值。EBADCF解答这也是我们周测的一道题目，大家还有印象吗？它与探究问题一大致一样，只是换作了菱形的情景，依旧是利用对称性转移线段，再利用两点之间线段最短的公理。解题过程略探究问题四同探究问题一、探究问题二一样，我把探究问题三变形，大家再看看。如图，在边长为2的等边三角形ABC中，M为AB的中点,N是BC上的一动点，求AN+MN的最小值。MCABN解题过程解：以BC为轴翻转△ABC到△DBC，连接MD、ND作DE⊥AB交AB的延长线于E。∴AB=BD=2∠1=∠2=60º在△ABM与△DBM中AB=DB∠1=∠2BM=BM∴△ABM≌△DBM(SAS)∴AM=DM即要求AM+MN的最小值则为求MN+MD的最小值根据两点之间线段最短当M为ND与BC交点F时，MN+MD的最小值。21EFDMCABN解题过程∵∠1=∠2=60º∴∠ABD=120º∴∠EBD=60º∵DE⊥AE∴∠AED=90º∴∠BDE=30º∴BE=BD=1∴ED=∵N为AB的中点∴BN=1∴EN=2根据勾股定理NE2+ED2=ND2∴ND=∴AM+MN的最小值为21EFDMCABN回顾与总结通过以上的探究和思考，我们发现，两点之间线段最短这个公理，已不只停留在一个简单的公理上，它已成为求两个线段和最短或几条线段和最短的一种手段和技巧.通过探究，我们发现，这一类问题解题的大概步骤是一样的，唯一不同在于它们赋予的图形不同，也就是已知条件不同。它可以以正方形、菱形为依托，也可以以等腰三角形和等边三角形为依托。但我发现它的本质是不变的，也就是万变不离其中，因此，我们只需以不变应万变。下面是我总结的这一类问题的基本思路和步骤。步骤思路（1）利用对称，转移其中一条线段。（若不是对角线为对称轴的图形，通过翻折，补形）——移（2）利用两点之间线段最短这个公理，寻找两线段和最短时动点所在的位置。——找（3）利用已知条件求线段的值——求。求解前的过渡的写法很重要，举个例子（例：∴AM=DM即要求AM+MN的最小值则为求MN+MD的最小值根据两点之间线段最短当M为ND与BC交点F时，MN+MD的最小值）大概内容如此即可。（4）最后下结论。（例：∴AM+MN的最小值为）题目说了这么多，大家对这方面的知识也有所了解了吧，那么，让我们一同看看这道中考题，看看能不能轻松的解决。题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。（1）求此抛物线的解析式。（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式。（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E）在到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。解答（第一问）解答：首先，依题目条件，大致画出图来，如图。题目说抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。也就是点A，B，C均满足函数解析式。解答（第一问）解：依题意得方程组：c=3a+b+c=025a+5b+c=0解得：a=0.6b=-3.6c=3解答（第二问)解答：（2）由题目得：D为线段OA的一个三等分点，观察图形，满足这个条件的点有两个，因此有两种情况，所以，我们采用分类讨论。解答（第二问)解：分类讨论：当点D的坐标为（0，1）时，设此函数解析式为y=kx+1则有5k+1=0∴k=-0.2∴此函数解析式为y=-0.2x+1当点D的坐标为（0，2）时设此函数解析式为y=kx+2则有5k+2=0∴k=-0.4∴此函数解析式为y=-0.4x+2解答（第二问)综上所述：当点D的坐标为（0，1）时，函数解析式为y=-0.2x+1。当点D的坐标为（0，2）时，函数解析式为y=-0.4x+2。解答（第三问)解答：（3）题目说M是OA的中点，则，我们可以求出M的坐标，为（0，1.5）。题目说到达抛物线的对称轴上某点，我们应先找到它的对称轴，这并不难，它应该是经过点（3，0）垂直于x轴的直线。我们要求的是一个最短路径，在此，我介绍两种方法。解答（第三问)方法一，题目说线段先到达x轴上的某点，再到达抛物线的对称轴上某点，最后运动到点A，这很像是将军饮水问题，于是我便依照类似与解决将军饮水问题的方法，作点M关于x轴的对称点M‘，M’坐标为（0，-1.5）。解答（第三问)这样，就变成了典型的将军饮水问题。只需做点A关于抛物线对称轴的对称点A＇，A＇坐标为（6，3），连接M＇A＇，与x轴相交的是点E，与抛物线对称轴相交的是点F。把相对应的线段还原回去，就是红色的部分。解答（第三问)接下来，我们应该求直线M＇A＇的函数解析式，我们不妨设直线M＇A＇的函数解析式为y=kx-1.5则有：6k-1.5=3解得：k=0.75则此函数解析式为y=0.75x-1.5。解答（第三问)不难求出，它与x轴的交点为（2，0），即E点坐标为（2，0），与抛物线对称轴交点是（3，0.75），即F点坐标为（3，0.75）。最后，连接A＇A，根据勾股定理，求出M＇A＇的长为7.5。即，最短路程长为7.5。解答（第三问)方法二：这种方法与方法一十分类似，思路大体相同，只是其中一个环节要注意，当连接AM＇＇后，不要认为此时与x轴的交点就为要求的点E，要求的点E应该是它关于抛物线对称轴的对称点。当然，这道题也可以先做点A关于x轴的对称点，有兴趣大家可以试一试。