广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学(文)考试试题目和答案

广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-1-/12深圳高级中学(集团）2019-2020学年高三第一次测试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合{|6}AxNx，{|22}BxRx，则AB=（）A．0,5,6B．{5,6}C．{4,6}D．{|46}xx2.若复数12izi,则z的虚部为（）A.15iB．15C．15iD.153.已知向量a＝(4，x)，b＝(－4,4)，若a∥b，则x的值为()．A．0B．4C．－4D．±44.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A.B.C.D.5.下列函数中，在其定义域上为增函数的是（）A．2xyB．xeyC．xxysinD．xy6．各项均为正数的等比数列na的前项和为nS，若32,14nnSS，则4nS（）A.80B.16C.26D.307.设函数Rxxfy),(,“)(xfy是偶函数”是“)(xfy的图像关于原点对称”的()A.充分不必要条件B.必要不充条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年9.将函数3sin2cos2fxxx的图象向右平移6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-2-/12倍（纵坐标不变），得到函数gx的图象，则下列说法正确的是（）A.函数gx的最大值是31B.函数gx的最小正周期为C.函数gx在区间2,63上单调递增D.函数gx的图像关于直线3x对称10.如图，平面四边形ABCD中，E,F是AD,BD中点，AB=AD=CD=2，022,90BDBDC，将ABD沿对角线BD折起至'ABD，使平面'ABDBCD，则四面体'ABCD中，下列结论不正确的是（）A.//EF平面'ABCB.异面直线CD与'AB所成的角为090C.异面直线EF与'AC所成的角为060D.直线'AC与平面BCD所成的角为03011.已知,(0,),sinsin02，则下列不等式一定成立的是（）A.2B.2C.D.12．已知函数,1()(2),1xexfxfxx，若方程()10fxmx恰有两个不同实根，则正实数m的取值范围为A．1(,1)(1,1)2eeB．1(,1)(1,1]2eeC．1(,1)(1,1)3eeD．1(,1)(1,1]3ee二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．函数1ln1xfxx的值域为________.14．若1sinsin3a则._____coscos22a15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列na是等和数列，且21a，公和为5，这个数列的前2n-1项和21nS_______.广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-3-/1216.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥PABC的内切球的体积为________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）等差数列na中，410a且3610aaa，，成等比数列，求数列na前20项的和20S．18.(本题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba、、，且满足AbBacos3sin。（1）求角A的大小；广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-4-/12（2）若4a，求ABC周长的最大值。19.（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，11,2a202)nnnnSaSan（．（Ⅰ）求证：数列1nS是等差数列；（Ⅱ）求123111++23nSSSSn．20.（本小题满分12分）在△ABC中，,2,332sinABABC点D在线段AC上，且334,2BDDCAD,（I）求ABCCOS；（II）求BC和AC的长广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-5-/1221.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（Ⅲ）若C2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．22.（本小题满分12分）函数0ln1212axxaaxxf.（Ⅰ）讨论函数fx的单调性；（Ⅱ）当0a时，方程mxxf在区间21,e内有唯一实数解，求实数m的取值范围．广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-6-/122019-2020学年第一学期高三年级第一次测试文科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案BDCACDBBCCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.14.1315.51,21()25,2()2nnnkkNSnnkkN16.32三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）等差数列na中，410a且3610aaa，，成等比数列，求数列na前20项的和20S．解：设数列na的公差为d，则3410aadd，642102aadd，1046106aadd．由3610aaa，，成等比数列得23106aaa，即2(10)(106)(102)ddd，整理得210100dd，解得0d或1d．当0d时，20420200Sa．当1d时，14310317aad，2012019202Sad20719033018.(本题满分12分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba、、，且满足AbBacos3sin。（1）求角A的大小；（2）若4a，求ABC周长的最大值。18解：（1）依正弦定理BbAasinsin可将AbBacos3sin化为ABBAcossin3sinsin又因为在ABC中，0sinB所以有3tancos3sinAAA，即.广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-7-/12∵A0,3A（2）因为ABC的周长cbcba4，所以当cb最大时，ABC的周长最大.解法一：316)(3)(cos21622222cbbcbccbAbccba4)(2cbbc且864)(4)(316)(222cbcbcbcb（当且仅当4cb时等号成立）所以ABC周长的最大值1219.（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，11,2a202)nnnnSaSan（．（Ⅰ）求证：数列1nS是等差数列；（Ⅱ）求123111++23nSSSSn．19.（Ⅰ）证明：因为当2n…时，1nnnaSS，所以211()0nnnnnnSSSSSS．所以110nnnnSSSS,2分因为11,2a所以216a，所以10nnSS，3分所以1111nnSS．4分所以1nS是以112S为首项，以1为公差的等差数列．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211nnnS，所以11nSn.8分所以1111(1)1nSnnnnn．10分广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-8-/12所以12311111111++1++232231nSSSSnnn11111nnn．12分20.（本小题满分12分）在△ABC中，,2,332sinABABC点D在线段AC上，且334,2BDDCAD,（I）求ABCCOS；（II）求BC和AC的长20.（Ⅰ）、3133212sin21cos22ABCABC................4分（Ⅱ）、设bDCaBC,则bACbAD3,2在ABC中，ABCCOSBCABBCABAC2222,即,31224922aabaab344922….①........6分在ABC中，bbBDA2334244316cos2，............8分由0cosBDACOSBDC得6322ab…②.....................10分由①、②解得1,3ba，所以BC=3，AC=3............................12分21.（本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（Ⅲ）若C2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试题目和答案-9-/1221解法一：（Ⅰ）在AOC中，因为,OAOCD为AC的中点，所以ACDO又PO垂直于圆O所在的平面，所以POAC因为DOPOO，所以AC平面PDO.（Ⅱ）因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又2AB，所以ABC面积的最大值为12112又因为三棱锥PABC的高1PO，故三棱锥PABC体积的最大值为111133（Ⅲ）在POB中，1,90POOBPOB，所以22112PB,同理2PC，所以PBPCBC在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示。当,,OEC共线时，CEOE取得最小值又因为,OPPBCPCB，所以OC垂直平分PB，即E为PB中点从而2622OCOEEC262，亦即CEOE的最小值为262.解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一.（Ⅲ）在POB中，1,90POOBPOB，所以2245,112OPBPB，同理2PC所以PBPCBC，所以60CPB.在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP，使之与平面ABP共面，如图所示。当,,OEC共线时，CEOE取得最小值.所以在OCP中，由余弦定理得：212212cos(4560)OC21231222()222223从而26232OC所以CEOE的最小值为262.广东省深圳市高级中学2020届高三上学期第一次测试数学（文）考试试