几何模型在现实生活中的应用

天津师范大学本科生毕业论文（设计）题目：几何模型在现实生活中的应用学号：02505075姓名：刘静专业：数学与应用数学年级：2002级学院：数学科学学院完成日期：2006年5月指导教师：张智广几何模型在现实生活中的应用摘要：几何模型是数学建模的重要工具，合理使用它将使原本复杂的问题变得简单易解，有简化问题的作用．一般来说，几何模型是针对具体实物建立起来的，即可在现实生活中找到原型，其目的是为了解决实际问题．它的应用范围非常广泛，在许多领域发挥着重要作用．本文从物体运动、运输、汽车设计优化等问题入手，分析如何建立其几何模型，探求解决途径，并研究所建模型的应用领域，即还可利用此模型解决的类似问题有哪些．关键词：数学建模，数学模型，几何模型，简化TheApplicationofGeometricalModelinOurDailyLifeAbstract:Geometricalmodelisaveryimportanttoolinmathematicalmodeling.Rationalofitwillsimplifytheoriginalcomplexproblems.Generally,geometricalmodelsareconstructedaccordingtotheconcretematerials,namely,peoplecanfindtheiroriginalmodelsinreallife.Asgeometricalmodelaimsatsolvingtheprogrammaticproblems,ithasbeenwidelyused.Itplaysaveryimportantroleinvariousfields.Thispapermainlyanalysesthemethodsofconstructinggeometricalmodelfromtheperspectivesoftransportation,themovingoftheobject,andtheoptimaldesignofcars,andthenexploresthewayofsolvingtheproblem.Thispaperalsoresearchestheapplyingfieldsofalltheconstructingmodelsandthesolvingofsomecertainproblemswiththesemodels.Keywords:Mathematicalmodeling,Mathematicalmodel,Geometricalmodel,Simplify目录一、前言……………………………………………………………………………………(1)二、几何模型在物体运动问题中的应用…………………………………………………(2)（一）步长选择…………………………………………………………………………(2)（二）雨中行走…………………………………………………………………………(3)三、几何模型在运输问题中的应用………………………………………………………(6)（一）冰山运输…………………………………………………………………………(6)四、几何模型在汽车设计优化问题中的应用…………………………………………(10)（一）驾驶盲区………………………………………………………………………(10)（二）车灯线光源的优化设计模型…………………………………………………(12)五、几何模型在其它问题中的应用……………………………………………………(15)（一）医学中的应用…………………………………………………………………(15)1．血管分支…………………………………………………………………………(15)（二）日常生活中的应用……………………………………………………………(16)1．动物的身长与体重………………………………………………………………(16)2．拐角问题模型……………………………………………………………………(17)参考文献…………………………………………………………………………………(19)天津师范大学本科毕业论文几何模型在现实生活中的应用1一、前言近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高．但是，到底什么是数学模型和数学建模呢？可能许多人还不是很清楚．所谓数学建模就是利用数学方法解决实际问题的一种实践．即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．当一个数学结构作为某种形式语言（即包括常用符号、函数符号、谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型．换言之，数学模型可以描述为：对于现实世界的一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构．也就是说，数学模型是通过抽象简化的过程，用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，从而便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型模仿了一个现实系统，是对现实对象的信息加以分析、提炼、归纳、翻译的结果．它用精确的语言表达了对象的内在特性，是利用函数、方程等变量描述方法以及数学概念创立的模型．但建立数学模型并非以模型为目标，而是为了解决实际问题．当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入了充满数学概念的抽象世界．在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理、演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答．最后，我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果．这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性．我们始于现实世界又终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁．在实际应用中，数学模型可按不同方式分类．若按建立模型的数学方法分类，则它可分为几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型等．这些模型彼此之间并非绝对孤立，而是互相渗透，互为工具．在可用数学建模的方法解决的问题中，有些比较简单，只使用其中的一种模型即可．例如，一把梯子斜靠在墙上，如何测得梯子和墙的夹角呢？首先建立梯子的几何模型，即将其假设为一线段，忽略其余各部分．接下来，测量梯长以及从梯子与墙的交点到地面的垂直距离．再利用三角函数，便可计算出夹角．但在解决复杂问题时，仅使用几何方面的知识或者其它某类知识是远远不够的，往往是两类或多类知识综合起来使用，会达到事半功倍的效果．或者在原有模型的基础上，使用几何模型作为辅助手段，也会为问题的解决带来惊喜．几何模型不是原型，既简单于原型，又高于原型，它是对原物体简化后的产物．几天津师范大学本科毕业论文几何模型在现实生活中的应用2何模型有一定的适用条件，即在所要解决的问题中需出现具体实物，因为要建立所研究问题的几何模型就一定脱离不了具体实物的存在．若问题中没有出现有具体形状的物体，则几何模型也无从谈起．但是由于我们所要解决的实际问题有许多都会涉及到具体实物，所以几何模型的应用范围是很广泛的，地位是举足轻重的．下面我们将从四个方面，介绍几何模型的具体应用．二、几何模型在物体运动问题中的应用数学建模过程是由若干个有明显差别的阶段性工作组成的，可以分为问题分析、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用等过程．但建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，以上只是机理分析方法建模的一般过程．在本文中，受所研究问题及篇幅所限，部分过程有所省略．物体运动中所涉及到的物体一定是有具体形状的，所以符合几何模型的应用条件．分析运动物体的几何结构，对其进行合理简化，是几何模型的一个重要应用．（一）步长选择问题描述：人在行走时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和．在给定速度时，以动作最小（即消耗能量最小）为原则．问走路步长选择多大为合适？问题分析：此问题若陷入人体复杂的生理结构之中，将会得出过于复杂的模型而失去使用价值．对人体进行合理的简化，是解决问题的首要步骤．由于此例要解决的是步长问题，则人体的生理结构这一复杂因素是可以忽略的．另外，依靠平时生活经验的积累，可判断影响步长的主要因素有：（1）身高H（或腿长h）；（2）体重M．为简化问题的研究，做以下假设：（1）假设人体只由躯体和下肢两部分组成，且下肢看作长为h、质量为m的均匀杆；（2）设躯体以匀速v前进．模型建立：如图1所示，重心升高12222cos148llhhhhhh（当lh较小时）．腿的转动惯量23mhI，角速度vwh，单位时间图1天津师范大学本科毕业论文几何模型在现实生活中的应用3的步数为vl．所以单位时间行走所需的动能为32126evmvWIwll．单位时间内使身体重心升高所做的功为8vMglvWmglh，所以单位时间行走所需的总功368emvMglv．代入vnl，得2168mMgWvnhn．于是当v一定时，34Mgnmh可使W最小．由0vln，得043hmlvMg．求解完毕．（二）雨中行走问题描述：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去．学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你不准备花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校．假设刚刚出发雨就大了，但你也不再打算回去了．一路上，你将被大雨淋湿．一个似乎是很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少淋雨的时间．但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略．试组建数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度．问题分析：对于这个实际问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步论述．我们的问题是，要在给定的降雨条件下设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低．分析参与这一问题的因素，主要有：（1）降雨的大小；（2）风（降雨）的方向；（3）路程的远近；（4）你跑的快慢．为简化问题的研究，我们假设：（1）降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度保持不变；（2）你以定常的速度跑完全程；（3）风速始终保持不变；（4）把人体看成是一个长方体的物体（此项为几何方面的假设）．在这些假设下，我们可以给出参与这个模型的所有参数和变量：雨中行走的距离D（米）、时间t（秒）、速度v（米秒）；人的身高h（米）、宽度w（米）和厚度d（米）；身上被淋的雨水总量C（升）．关于降雨的大小，在这里用降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）I（厘米时）来描述．模型求解：为进一步简化这一问题的研究，首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响，也就是说在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水．经简单论证可知，这是一个荒谬的假设，所建模型用以描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的．按照建模的程序，需要回到对问题所做的假设，推敲这些假设是否恰当．这时我们发现不考虑降雨角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了．天津师范大学本科毕业论文几何模型在现实生活中的应用4若考虑降雨角度的影响，则降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了．现给出降雨的速度，即雨滴下落的速度r（米秒），以及降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）．显然，前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度．我们用来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数．于是有Ipr．显然，1p，而当1p时意味着大雨倾盆，有如河流向下倾泻一般．如图2所示，在这种情形下为了估计出你被雨水淋湿的程度，关键是考虑雨滴相对于雨中行走方向的下落方向．首先考虑02的情况．这时雨水是从前方迎面而来落下的，由经验可以知道，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方．因此淋在身上的雨水将分为两部分来计算．先考虑顶部被淋的雨水．雨滴速度垂直方向的分量是sinr，顶部的面积是wd．不难得到，在时间tDv内淋在顶部的雨水量应该是：1sinCDvwdp