传热学导热问题的数值解法

第四章导热问题的数值解法主讲人：孙晴本章知识结构第四章导热问题的数值解法1、导热问题数值求解的基本思想2、稳态导热离散方程的建立和求解方法3、非稳态导热的数值解法24.1导热问题数值求解的基本思想3数值解法的基本思想:用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点的温度近似值来代替物体内实际连续的温度分布，将连续温度分布函数的求解问题转化为各节点温度值的求解问题。通过对各离散节点建立代数离散方程，将导热微分方程的求解问题转化为节点温度代数方程的求解问题。4数值解法的基本内容与步骤:（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，建立控制方程及定解条件。（2）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线的交点作为节点,每个节点就代表以它为中心的子区域（元体或称为控制容积），节点温度就代表子区域的温度。（3）建立节点温度代数方程。（4）设立迭代初场。4.1导热问题数值求解的基本思想5（6）对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤，重复进行计算，直到结果满意为止。（5）求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值；y)1j()j,1i(yjy)1j(x)1i(xi)1i(xyx)1j,i()j,1i()1j,i(4.1导热问题数值求解的基本思想6是否求解域离散化改进初场建立控制方程及定解条件设立迭代初场建立节点温度代数方程求解代数方程组解的分析是否收敛？导热问题数值解法的流程图4.1导热问题数值求解的基本思想4.2稳态导热离散方程的建立和求解7用有限差分近似微分，用有限差商近似微商（导数）例如:xdx，∆𝒙∆𝒚≈𝒅𝒙𝒅𝒚,进而将导热偏微分方程转化为节点温度差分代数方程。建立节点离散方程的方法有两种：泰勒级数展开法热平衡法1.泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j!3x)xt(!2x)xt(x)xt(tt3j,i332j,i22j,ij,ij,1i!3x)xt(!2x)xt(x)xt(tt3j,i332j,i22j,ij,ij,1i84.2稳态导热离散方程的建立和求解一、内节点若取上面两式右边的前三项，并将式两相加，得二阶导数的中心差分：同样可得：9)(2)(22,1,,1,22xoxtttxtjijijiji)y(oytt2t)yt(221j,ij,i1j,ij,i22截断误差未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为24.2稳态导热离散方程的建立和求解对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：其节点方程为：0ytxtv22220ytt2txtt2tj,i,v21j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i10xoxttxtiii1xoxttxtiii12112xoxttxtiii向前差分格式向后差分格式中心差分格式4.2稳态导热离散方程的建立和求解2.热平衡法(,1)Bij(,1)Tij(1,)ijR(1,)ijL11,1,1,,1,1(,)(1,)(1,)(,1)(,1)ijijijijijPijtRijtLijtTijtBijt4.2稳态导热离散方程的建立和求解根据傅里叶定律，L,R,T,B各节点向P节点的导热量：1xytt1xytt1yxtt1yxttj,i1j,iLPj,i1j,iBPj,ij,1iRPj,ij,1iLP12Z方向取单位长度4.2稳态导热离散方程的建立和求解若有内热源，为P节点所在网格单元的内热源强度为Ф𝒗,𝒊,𝒋1yxj,i,vp,v13则内热源发热量在稳态导热下：则0VPTPBPQPLP0ytt2txtt2tj,i,v21j,ij,i1j,i2j,1ij,ij,1i4.2稳态导热离散方程的建立和求解二、边界节点离散方程的建立1.位于平直边界上的节点142y1j,itTj,itPBt1j,iLtj,1i2xfhthtxt,,1,11,(,)(,1)(,1)(1,)ijijijijPijtTijtBijtLijt4.2稳态导热离散方程的建立和求解红色框内为平直边界上P点的网格单元。边界条件：第三类边界热平衡式为：150112121,,1,,1,,,1ytthxyttxyttyxttjifjijijijijiji若有内热源，则可在上式左边加上内热源项：绝热边界，只要令h=0，即可。j,i,v1y)2x(4.2稳态导热离散方程的建立和求解对于第二类边界条件，设为qw则上式中的对流换热项,用热流密度qw来替代0112121,1,,1,,,1yqxyttxyttyxttwjijijijijiji164.2稳态导热离散方程的建立和求解2.外部角点17)j,1i(L)j,i(A)1j,i(T1f1th2yEBCD2f2th2x红色框内为外部角点A的网格单元边界条件，第三类边界𝒉𝟏𝒕𝒇𝟏，𝒉𝟐𝒕𝒇𝟐内热源强度为Ф𝒗,𝒊,𝒋热平衡式为04112)(12)(1212,,,22,11,1,,,1jivjifjifjijijijiyxxtthytthxyttyxtt4.2稳态导热离散方程的建立和求解3.内部角点18(,)Pij(,1)Bij(1,)ijR(1,)Lij(,1)Tij2y红色框内为内部角点P的网格单元边界条件：第三类边界𝒉𝒕𝒇,内热源强度为Ф𝒗,𝒊,𝒋热平衡式为0432)(121211,,,,,1,1,,1,,,1jivjifjijijijijijijijiyxyxtthyxttxyttxyttyxtt4.2稳态导热离散方程的建立和求解19求解代数方程的迭代法代数方程组的求解直接解法——矩阵求逆，高斯消元法等迭代法——简单迭代法，高斯-赛德尔迭代法，4.2稳态导热离散方程的建立和求解𝑡1=1𝑎11𝑏1−𝑎12𝑡2−𝑎13𝑡3𝑡2=1𝑎22𝑏2−𝑎21𝑡1−𝑎23𝑡3𝑡3=1𝑎33𝑏3−𝑎31𝑡1−𝑎32𝑡2对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其它变量系数绝对值之和，即对角占优，此时用迭代法求解代数方程一定收敛。20迭代过程是否已经收敛的判据：迭代过程能否收敛的判据：m𝑎𝑥𝑡𝑛−𝑡𝑛+1≤𝜀m𝑎𝑥𝑡𝑛−𝑡𝑛+1𝑡𝑘≤𝜀K代表迭代次数4.2稳态导热离散方程的建立和求解214.3非稳态导热问题的数值解法对非稳态导热，从能量关系来看网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量传递，本身的内能也将随时间发生变化。OK1k1kk(,1)ik(,1)ik(1,)ik(1,)ikI1i1iixzxz一维非稳态导热问题用有限差分法求解空间，时间的坐标的划分222k1ikik1iki,22Δxt2tt）xt（以无内热源，物性参数为常数的一维非稳态导热为例，导热微分方程为：温度对坐标的二阶导数：22xtat＝非稳态项，温度对时间的一阶导数有三种不同的格式。根据泰勒级数展开，若用节点(i,k)的温度参数来表示节点（i.k+1）的温度4.3非稳态导热问题的数值解法23舍去上式中左边第三项及以后各尾项，移项整理此式是一阶导数向前差分的表达式。!2)(2,22,1kikikikitttt1,()()kkiiikttto类似可得向后差分的表达式：同理可得中心差分的表达式：1,0()kkiiikttt（）)(02ttt21ki1kik,i）（4.3非稳态导热问题的数值解法24若温度对时间的一阶导数采用向前差分，则导热微分方程可改写为：2k1ikik1iki1kixtt2tattki2k1ik1i21kit)xa21()tt(xat上式移项整理𝑭𝒐∆=𝒂∆𝝉∆𝒙𝟐称为网格傅立叶数，以∆𝒙为特征常数。此式为显式差分格式。4.3非稳态导热问题的数值解法25稳定性条件对于点i上k+1时刻的温度是由该点在第k时刻的基础上综合相邻点温度后得出。所以如k时刻i点温度较高，则其下一时刻的温度也较高，反之亦然。其表现在差分方程的稳定性条件是：各项的系数必须大于或等于零。即：21xa22k1ikik1i1kikixtt2tatt若温度对时间的一阶导数采用向后差分，则4.3非稳态导热问题的数值解法26整理后可得隐式差分格式：优缺点：隐式格式计算工作量大，但对步长无限制，不会出现解得震荡；显式格式计算量小，但易出现震荡。kikikikitttFtF)()21(111114.3非稳态导热问题的数值解法27用热平衡法建立边界节点的节点方程如图是一无限大平板，其左侧面为第三类边界条件，针对边界节点，其节点方程112111()x2kkkkkkfttttxhttc()fthttxOxx2341X边界的热容项4.3非稳态导热问题的数值解法整理上式：其中281211111()()2kkkkkkifOttBttttF21iOhxcxBF移项整理0F2FB21ooi221iΔoBF11212()(122)kkkkOifiOOtFtBtBFFt此式为的显式差分表达式：稳定性条件即11kt4.3非稳态导热问题的数值解法29上式与内节点稳定性条件相比更为严格。在第三类边界条件下，应采用上式作为稳定性条件；如果在第一、二类边界条件下，则只有内节点方程定性条件。()ftxhttOxx4123X11k11112111t()2kkkkkftttxhttecx针对图中的边界节点1应用热平衡法也可以写出其隐式差分格式，即30整理得111121(122)2()kkkkiOOOifBFFtFtBtt隐式差分格式是无条件稳定的。4.3非稳态导热问题的数值解法31感谢您的观看！