中考数学二次函数动点问题-因动点产生的面积问题

因动点产生的面积问题例12013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212yxbxc（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．图1动感体验请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．思路点拨1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC．2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．满分解答（1）b＝12c，点B的横坐标为－2c．（2）由2111()(1)(2)222yxcxcxxc，设E1(,(1)(2))2xxxc．过点E作EH⊥x轴于H．由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．所以1(1)(2)xxxc．因此12xc．所以(12,1)Ecc．当C、D、E三点在同一直线上时，EHCODHDO．所以1212ccc．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或12c（舍去）．所以抛物线的解析式为213222yxx．（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．直线BC的解析式为122yx．设213(,2)22Pmmm，那么1(,2)2Fmm，2122FPmm．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝221()24(2)42BCFPxxFPmmm．因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．综上所述，0＜S＜5．②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．例22012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1[来源:z@zs#tep.~co^m*]动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．思路点拨1．四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍．2．联结PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形．3．过点向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．[来~%#源:*&中教网]所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）S△A′B′O＝1．如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．232'1111(')(22)22222PBODSDOBOPDxxxxxx梯形．2321113(2)(2)22222PDBSDBPDxxxxx．所以2'''2+2PDBPBADPBODSSSxx四边形梯形．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以点P的坐标为(1，2)．图2图3图4（3）如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PBOPSBOxxx．22112(2)222PBOPSBOyxxxx．所以2'''2+2PBOPBOPBADSSSxx四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．例32012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112yx与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动，可以体验到，PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C是AB的中点时，PD达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112yx与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以5AE．所以25sin5AEO．因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此25sin5ACP．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得4230,16433.abab解得12a，12b．（2）由211(,3)22Pmmm，1(,1)2Cmm，得221111(1)(3)42222PCmmmmm．所以2225251595sin(4)(1)55255PDPCACPPCmmm．所以PD的最大值为955．（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，52m；当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，329m．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．而252511coscos(4)(2)(4)5525DNPDPDNPDACPmmmm，BM＝4－m．①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，19(2)(4)(4)510mmm．解得52m．②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，110(2)(4)(4)59mmm．解得329m．例42011年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)Ppp(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx(x＞0)和myx(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线myx上，所以m＝2．设直线l的解析式为ykxb，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,21.kbkb解得1,1.kb所以直线l的解析式为1yx．（2）由点(,1)Ppp(p＞1)的坐标可知，点P在直线1yx上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4（3）△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此222()4(1)xxxx．解得1132x或1132x（此时点P在x轴下方，舍去）．此时1132p．②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此222()4(1)xxxx．解得152x或152x（此时点P在x轴下方，舍去）．此时152p．考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6例52010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12yxb交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若