中考数学圆综合题(含答案)

1/16一.圆地概念集合形式地概念：1.圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合；2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合轨迹形式地概念：1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,定长为半径地圆；（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）；3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线.二.点与圆地位置关系1.点在圆内dr点C在圆内；2.点在圆上dr点B在圆上；3.点在圆外dr点A在圆外；三.直线与圆地位置关系1.直线与圆相离dr无交点；2.直线与圆相切dr有一个交点；3.直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd四.圆与圆地位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；rddCBAO2/16图1rRd图3rRd五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,并且平分弦所对地两条弧；（2）弦地垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对地两条弧；（3）平分弦所对地一条弧地直径,垂直平分弦,并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等.即：在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD六.圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等地圆心角所对地弦相等,所对地弧相等,弦心距相等.此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中地1个相等,则可以推出其它地3个结论,即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD七.圆周角定理1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半.即：∵AOB和ACB是弧AB所对地圆心角和圆周角∴2AOBACB图2rRd图4rRd图5rRdOEDCBAOCDABFEDCBAOCBAO3/162.圆周角定理地推论：推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,相等地圆周角所对地弧是等弧；即：在⊙O中,∵C.D都是所对地圆周角∴CD推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆,所对地弦是直径.即：在⊙O中,∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半,那么这个三角形是直角三角形.即：在△ABC中,∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或90C注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理.八.圆内接四边形圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,外角等于它地内对角.即：在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形∴180CBAD180BDDAEC九.切线地性质与判定定理（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O地切线（2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点.推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.DCBAOCBAOCBAOEDCBANMAO4/16十.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆地两条切线,它们地切线长相等,这点和圆心地连线平分两条切线地夹角.即：∵PA.PB是地两条切线∴PAPBPO平分BPA十一.圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得地两条线段地乘积相等.即：在⊙O中,∵弦AB.CD相交于点P,∴PAPBPCPD（2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项.即：在⊙O中,∵直径ABCD,∴2CEAEBE（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项.即：在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线∴2PAPCPB（4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）.即：在⊙O中,∵PB.PE是割线∴PCPBPDPE十二.两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦.如图：12OO垂直平分AB.即：∵⊙1O.⊙2O相交于A.B两点PBAOPODCBAOEDCBADECBPAOBAO1O25/16∴12OO垂直平分AB十三.圆地公切线两圆公切线长地计算公式：（1）公切线长：12RtOOC中,22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和.十四.圆内正多边形地计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；（2）正四边形同理,四边形地有关计算在RtOAE中进行,::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理,六边形地有关计算在RtOAB中进行,::1:3:2ABOBOA.十五.扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式1.扇形：（1）弧长公式：180nRl；（2）扇形面积公式：213602nRSlRn：圆心角R：扇形多对应地圆地半径l：扇形弧长S：扇形面积2012数学中考圆综合题1．如图,△ABC中,以BC为直径地圆交AB于点D,∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆地切线；（2）若点E是BC上一点,已知BE=6,tan∠ABC=32,tan∠AEC=35,求圆地直径．CO2O1BADCBAOECBADOBAOSlBAO6/162如图,已知AB是⊙O地弦,OB＝2,∠B＝30°,C是弦AB上地任意一点（不与点A.B重合）,连接CO并延长CO交于⊙O于点D,连接AD．(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；(2)当∠D＝20°时,求∠BOD地度数；(3)当AC地长度为多少时,以A.C.D为顶点地三角形与以B.C.O为顶点地三角形相似？请写出解答过程．3.如图右,已知直线PA交⊙0于A.B两点,AE是⊙0地直径．点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0地切线；(2)若DC+DA=6,⊙0地直径为l0,求AB地长度.1.(1)证明：连接OC,7/16∵点C在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC,∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°,有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.又∵点C在⊙O上,OC为⊙0地半径,∴CD为⊙0地切线．(2)解：过0作0F⊥AB,垂足为F,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°,∴四边形OCDF为矩形,∴0C=FD,OF=CD.∵DC+DA=6,设AD=x,则OF=CD=6-x,∵⊙O地直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x,在Rt△AOF中,由勾股定理得222AF+OF=OA.即22(5)(6)25xx,化简得：211180xx解得2x或9x.由ADDF,知05x,故2x.从而AD=2,AF=5-2=3.∵OF⊥AB,由垂径定理知,F为AB地中点,∴AB=2AF=6.4．（已知四边形ABCD是边长为4地正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上地动点（不与点A.B重合）,连接PA.PB.PC.PD．(1)如图①,当PA地长度等于▲时,∠PAB＝60°；当PA地长度等于▲时,△PAD是等腰三角形；(2)如图②,以AB边所在直线为x轴.AD边所在直线为y轴,建立如图所示地直角坐标系（点A即为原点O）,把△PAD.△PAB.△PBC地面积分别记为S1.S2.S3．坐标为（a,b）,试求2S1S3－S22地最大值,并求出此时a,b地值．5.8/166.（11金华）如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以O为圆心,10为半径作⊙O,分别与∠EPF地两边相交于9/16A.B和C.D,连结OA,此时有OA//PE．（1）求证：AP=AO；（2）若tan∠OPB=12,求弦AB地长；（3）若以图中已标明地点（即P.A.B.C.D.O）构造四边形,则能构成菱形地四个点为▲,能构成等腰梯形地四个点为▲或▲或▲.（1）∵PG平分∠EPF,∴∠DPO=∠BPO,∵OA//PE,∴∠DPO=∠POA,∴∠BPO=∠POA,∴PA=OA；……2分（2）过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB=12AB,……1分∵tan∠OPB=12OHPH,∴PH=2OH,……1分设OH=x,则PH=2x,由（1）可知PA=OA=10,∴AH=PH－PA=2x－10,∵222AHOHOA,∴222(210)10xx,……1分解得10x（不合题意,舍去）,28x,∴AH=6,∴AB=2AH=12；……1分（3）P.A.O.C；A.B.D.C或P.A.O.D或P.C.O.B.7．（芜湖市）（本小题满分12分）如图,BD是⊙O地直径,OA⊥OB,M是劣弧AB⌒上一点,过点M点作⊙O地切线MP交OA地延长线于P点,MD与OA交于N点．（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4,PA＝32AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC地长．8．（黄冈市）（6分）如图,点P为△ABC地内心,延长AP交△ABC地外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2＝AB·AE,求证：DE是⊙O地切线.PABCODEFG第21题图HPABCODEFG10/16（证明：连结DO,∵AD2＝AB·AE,∠BAD＝∠DAE,∴△BAD∽△DAE,∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB,∴∠ACB＝∠E,BC∥DE,又∵OD⊥BC,∴OD⊥DE,故DE是⊙O地切线）9．（义乌市）如图,以线段AB为直径地⊙O交线段AC于点E,点M是AE地中点,OM交AC于点D,60BOE°,1cos2C,23BC．（1）求A地度数；（2）求证：BC是⊙O地切线；（3）求MD地长度．（解：（1）∵∠BOE=60°∴∠A＝12∠BOE＝30°（2）在△ABC中∵1cos2C∴∠C=60°…1分又∵∠A＝30°∴∠ABC=90°∴ABBC……2分∴BC是⊙O地切线（3）∵点M是AE地中点∴OM⊥AE在Rt△ABC中∵23BC∴AB=tan60233BC6∴OA=32AB∴OD=12OA32∴MD=32）10.（兰州市）（本题满分10分）如图,已知AB是⊙O地直径,点C在⊙O上,过点C地直线与AB地延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O地切线；（2）求证：BC=21AB；（3）点M是弧AB地中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC地值.解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O地直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O地半径∴PC是⊙O地切线（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB∴BC=OC∴BC=21AB(3)连接MA,MB∵点M是弧AB地中点∴弧AM=