矩形菱形正方形一对一个性化辅导讲义.

中小学个性化教育辅导专家1一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：授课时间：2014年7月29日(星期二)姓名年级八性别学习内容矩形菱形正方形上课次数学习目标1、平行四边形的性质及其判定；2、特殊的平行四边形的性质以及判定（矩形、正方形、菱形）；3、梯形的性质，等腰梯形的性质及判定；4、多边形的内角和与外角和；4、中心对称图形与轴对称图形难点重点平行四边形的判定和性质平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：一、两条平行线的距离：定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。注意：平行线间的距离处处相等。二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（即勾股定理）（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（4）直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。四种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等互相平分中心对称矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称中心对称菱形对边平行四条边相等对角相等互相垂直平分且每条对角线平分对角轴对称中心对称正方形对边平行四条边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等，每条对角线平分对角轴对称中心对称中小学个性化教育辅导专家2四种特殊四边形常用的判定方法：平行四边形①两组对边分别平行的四边形②两组对边分别相等的四边形③一组对边平行且相等的四边形④两组对角分别相等的四边形⑤对角线互相平分的四边形矩形①有一个角是直角的平行四边形②有三个角是直角的四边形③对角线相等的平行四边形菱形①有一组邻边相等的平行四边形②四条边都相等的四边形③对角线互相垂直的平行四边形④对角线垂直且平分的四边形正方形①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形②一组邻边相等的矩形③一个角是直角的菱形④对角线垂直且相等的平行四边形平行四边形菱形正方形一组邻边相等一个内角是直角平行四边形正方形矩形一个内角是直角一组邻边相等平行四边形矩形正方形对角线相等对角线垂直平行四边对角线相等对角线垂直菱形正方形中小学个性化教育辅导专家3CABEDF一．矩形例1、如图所示,以△ABC的三边为边,分别作三个等边三角形.(1)求证四边形ADEF是平行四边形.(2)△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形?是矩形?(3)这样的平行四边形ADEF是否总是存在?练习：1、如图，在ABC△中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AFDC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果ABAC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．BAFCED中小学个性化教育辅导专家42、ABC△是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点BC、重合），ADE△是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线ABAC、于点FG、，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：AEBADC△≌△；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．3、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.AGCDBFE图（a）ADCBFEG图（b）中小学个性化教育辅导专家5二．菱形例1、在ABC△中，2120ABBCABC，°，将ABC△绕点B顺时针旋转角(0°90)°得ABCAB111△，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于DF、两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当30°时，试判断四边形1BCDA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．练习1、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=错误!未找到引用源。，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一定角度后，分别交BC、AD于点E、F．（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（2）当旋转角为90°时，在图中画出直线AC旋转后的位置并证明此时四边形ABEF是平行四边形；（3）在直线AC旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．（图供画图或解释时使用）2、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足ADBECF1A1CADBECF1A1C中小学个性化教育辅导专家6AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.三．正方形例1.如图1-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1)求证：BP=DP；(2)如图1-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.练习1、正方形ABCD中，∠EAF=45求证：BE+DF=EF。2、若以三角形ABC的边AB、BC为边向_C_D_A_B_E_F_F_G_D_E_B_A_C_N_M图1-2图1-1中小学个性化教育辅导专家7三角形外作正方形ABDE、BCFG，N为AC中点，求证：DG=2BN，BMDG。.3.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；（3）如图3，设MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.目标检测中小学个性化教育辅导专家81．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD=度．2．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长．3．把矩形纸片ABCD沿BE折叠，使得BA边与BC重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与BC边重合，展开后如图所示，则∠DFB等于（）4．如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．5．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1=度；△EFG的形状三角形．321FEDCBAGA'CABD中小学个性化教育辅导专家96．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为7．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？PC'NBCADMB'54132GD‘FC‘DBCAE中小学个性化教育辅导专家108.如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm.射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t(s).（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；②当t为_________s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形.10、.如图，在直角坐标系中，已知点)0,3(A，)4,0(B，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线中小学个性化教育辅导专家11l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．12.（2012河南，18，9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，60DAB,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN是菱形.13.已知,矩形ABCD中,4ABcm,8BCcm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点中小学个性化教育辅导专家12E、F,垂足为O.(1)如图10-1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；(2)如图10-2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿AFB和CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm,0ab),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.14.如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A,C的坐标分别为A(2,0),C(-1,2),反比例函数ABCDEF图10-1O图10-2ABCDEFPQ备用图ABCDEFPQ中小学个性化教育辅导专家13ky=k0x的图像经过点B.（1）求k的值．（2）将OABC沿着x轴翻折，点C落在点C′处．判断点C′是否在反比例函数ky=k0x的图像上，请通过计算说明理由．15：数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．ADFCGEB图1ADFCGEB图2ADFCGEB图3