3.1不等式与不等关系课(共32张PPT)

第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小长短轻重实际生活中:大小高矮探究点1用不等式表示不等关系在数学中，我们怎样来表示不等关系？提示：用不等式表示.1.右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是：___________.40v≤40km/h一、请看下面现实生活的例子:2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％，蛋白质的含量p应不少于2.3％，写成不等式组为.f≥2.5%p≥2.3%某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为()A．v≤120(km/h)或d≥10(m)B.v≤120km/hd≥10mC．v≤120(km/h)D．d≥10(m)B【即时练习】将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与数学符号间的正确转换.文字语言大于小于大于等于小于等于数学符号＞＜≥≤文字语言至多至少不少于不多于≤数学符号≥≥≤【提升总结】如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于零，那么a=b；如果a－b是负数，那么ab.反过来也对.这可以表示为0;abab0.abab0;abab关于实数a,b大小的比较，有以下事实：探究点2作差法比较两个实数大小比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．【解析】因为(3)(5)(2)(4)aaaa22(215)(28)7，aaaa所以(3)(5)(2)(4)aaaa0，所以(3)(5)(2)(4).aaaa【即时练习】例已知，，abm都是正数,且ab,求证:bmbama.证明:因为()()()bmbbmaambamaama()abmaabbmama().()mabama因为，，abm都是正数,且ab,所以0,0,0,0mamaab.所以0,bmbama所以.bmbama比较x2－x与x－2的大小.【解析】(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.作差，变形，判断【变式练习】作差比较法的步骤是：1.作差；2.变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3.判断符号；4.作出结论．【规律总结】设x∈R且x≠－1，比较11＋x与1－x的大小．【错解】∵11＋x－(1－x)＝1－1－x21＋x＝x21＋x，而x2≥0.∴当x－1时，x＋10，x21＋x≥0，即11＋x≥1－x.当x－1时，x＋10，x21＋x≤0，即11＋x≤1－x.【易错点拨】【错因分析】作差比较大小，变形后的结果难以确定时，一般要分类讨论，但需要有统一的分类标准．这里分类不完全，在x－1时，x20，不应有x21＋x≤0，最好把x＝0分一类进行讨论，这样比较恰当．【正解】∵11＋x－(1－x)＝x21＋x，而x2≥0，(1)当x＝0时，x21＋x＝0，∴11＋x＝1－x.(2)当1＋x0，即x－1时，x21＋x0，∴11＋x1－x.(3)当1＋x0且x≠0，即－1x0或x0时，x21＋x0，∴11＋x1－x.1．若b0，a＋b0，则a－b的值()A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定【解析】∵b0，a＋b0，∴a－b0，∴a－b0.A2.设M=x2，N=x-1，则M与N的大小关系为()A．MNB．M=NC．MND．与x有关A【解析】∵M－N＝x2－(x－1)＝x2－x＋1＝x2－x＋14＋34＝(x－12)2＋340.∴MN.第2课时不等式的性质a=bb=a;a=b,b=ca=c;a=ba+c=b+c;a=b,c≠0ac=bc.我们知道，等式有一些基本性质，如不等式是否有类似性质呢？带着这个问题，我们继续学习！1.掌握不等式的基本性质；2.会用不等式的性质证明简单的不等式；（重点）3.会将一些基本性质结合起来应用.（难点）探究点1不等式的性质(1)abba;；(2)ab,bcac（对称性)(传递性)(可加性)(3)aba+cb+c；a+bca+b+(-b)c+(-b)ac-b.由性质（3）可得：一般地说，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.(可乘性)(4),0;abcacbc,0;abcacbc明如下：因ac-bc=(a-b)c,又因ab,所以a-b0.所以c0，(a-b)c0,故acbc;c0,(a-b)c0,故acbc.证为为当时当时(6)ab0,cd0acbd；(同向不等式的可乘性)(5)ab,cda+cb+d;（同向不等式的可加性）(可开方性)(7)ab0nnab,n∈N,n≥1;nn(8)ab0ab,n∈N,n≥2.(可乘方性)判断对错：2222(1)若ab,则acbc;(2)若ab,则acbc;(3)若ab0,则aabb;11(4)若ab0,则;abba(5)若ab0,则.ab【即时练习】×√××√（3）对，22ab,a0aab;ab,b0abb;（4）对，.，即1ab00;ab111111a×b×ababbaab（5）错，23如-3-20,.32（1）错，若则c0,acbc;（2）错，若则22c=0,ac=bc;【解析】故a2abb2.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件.【规律总结】cc例1已知ab0,c0,求证.ab1ab0,所以ab0,0.ab11于是a×b×，abab11即.bacc由c0因,得.a为证：b明你还有其他证明方法吗？探究点2不等式的性质的应用证明：还可以利用作差法..)(ababcabacbcbcac因为,0,0cba又.0)(ababc所以.bcac所以设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是()A．x2＜ax＜a2B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜axD．x2＞a2＞axB【解析】∵x＜a＜0，∴x2＞a2.∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax.又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2.∴x2＞ax＞a2.【变式练习】例2a已知12a60,15b36,求a-b的取值范围.b，15b36,所以-36-b-15.又因为12a60,所以12-36a-b60-15，所以-24a-b45.11112a60因为,所以，36b1536b151a所以因为3解：4.b欲求a-b，应先求出-b的范围；a1欲求的范围，应先求出的取值范围.bb再利用不等式的性质求解.的取值范围取值取值【规律总结】（2014·四川高考）若ab0，cd0，则一定有()A.acbdB.acbdC.adbcD.adbc【解析】选D.因为cd0，所以-c-d0，即得110-d-c，又ab0，得ab0-d-c，从而有abdc.【变式练习】D1．已知ab，cd，且cd≠0，则()A．adbcB．acbcC．a＋cb＋dD．a－cb－d【解析】∵ab，cd，∴a＋cb＋d，故选C.C2.下列命题正确的是()A．若a＞b，则(a－b)c＞(b－a)cB．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＞b，则1a＜1bD．若ac＞bc，则ac＞bcD【解析】对A，当c＝0时，不成立；对B由于不具备性质6的条件，因而结论不成立；对C，由于ab的符号不定，故1a＜1b不一定成立；对D，∵ac＞bc，∴c≠0，∴acc2＞bcc2，即ac＞bc.bcca5.已知c＞a＞b＞0，试比较与的大小.c-b-b-aab解：0cbca110cacb0cb又bccbca即cbcacb1.不等式的基本性质；2.不等式基本性质的应用.3.不等式的基本性质列表性质具体名称性质内容特别提醒（1）（2）（3）（4）对称性传递性可加性可乘性abab,bcab______________abc0abc0⇔⇒注意c的符号⇔baaca+cb+cacbcacbc⇔______⇒____⇔_________⇔⇔性质具体名称性质内容特别提醒（5）（6）（7）（8）同向可加性同向同正可乘性可乘方性可开方性______________ab0ab0abcdab0cd0a,b同为正数⇒⇒a+cb+d________acbdanbn________nnab⇒⇒⇒⇒(n∈N,n≥2)(n∈N,n≥2)