2014年全国课标1理科数学

2014年全国课标1理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合2230,22AxxxBxx，则ABA．2,1B．1,2C．1,1D．1,2解析：223031013Axxxxxxxxx或，22Bxx又，AB2,1，故选A2．3211+-iiA．1iB．1iC．1iD．1i解析：3222111211211++++--iiiiiiiii，故选D3．设函数,fxgx的定义域都为R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中正确的是A．fxgx是偶函数B．fxgx是奇函数C．fxgx是奇函数D．fxgx是奇函数解析：fx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是奇函数，排除Afx是奇函数，fx是偶函数，gx是偶函数，则fxgx是偶函数，排除Bfx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是奇函数，C正确AMOPfx是奇函数，gx是偶函数，fxgx是奇函数，则fxgx是偶函数，排除D，故选C4．已知F为双曲线22:30Cxmymm的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A．3B．3C．3mD．3m解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离3，选A5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A．18B．38C．58D．78解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为4422728P，故选D6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数fx，则yfx在0,的图像大致为解析：由已知1,sin,cosOPPMxOMx，又1122fxOPOMMP，所以1sincossin22fxxxx，故选C7．执行右面的程序框图，若输入的,,abk分别为1，2，3，则输出的MA．203B．72C．165D．158解析：当2n时，33,2,22Mab；当3n时，838,,323Mab；当4n时，15815,,838Mab；此时运算终止，158M，故选D8．设0,,0,,22且1sintancos,则A．32B．32C．22D．22解析:由1sintancos得sin1sinsincoscoscossincoscos即sincos,所以sinsin2,由已知0,,0,,22所以,02222,sinyx在,22上单调递增,所以,222,故选C9.不等式组1,24xyxy的解集记为D,有下面四个命题12:,,22,:,,22,pxyDxypxyDxy34:,,23,:,,21,pxyDxypxyDxy其中的真命题是A．23,ppB．12,ppC．14,ppD．13,pp解析:令222xymxynxymnxmny,所以122mnmn,解得4313mn,所以4122033xyxyxy,因而可以判断12,pp为真,故选B10.已知抛物线2:8Cyx的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若4FPFQ,则QFPACBA．72B．3C．52D．2解析:由已知2,2,PFxx又4FPFQ,则442Qx,1Qx,过Q作QD垂直于l，垂足为D，所以3QFQD，故选B11．已知函数3231fxaxx，若fx存在唯一的零点0x，且00x，则a的取值范围是A．2,B．1,C．,2D．,1解析：当0a时，231fxx有两个零点，不满足条件当0a时，22'363fxaxxaxxa，令2'030fxaxxa，解得20xxa或，当0a时，3231fxaxx在22,0,,0aa和递增，递减，2241=faa为极小值，01=f为极大值，若fx存在唯一的零点0x，且00x，只需22410,a2=faa即为;当0a时，3231fxaxx在22,0,0,aa和递增，递减，01=f为极大值，2241=faa为极小值，不可能有满足条件的极值，故选CBCOA12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.6C.42D.4解析：几何体为如图所示的一个三棱锥PABC，底面ABC为等腰三角形，,A4,ABBCC顶点B到AC的距离为4，面PACABC面，且三角形PAC为以A为直角的等腰直角三角形，所以棱PB最长，长度为6，故选B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。13.8()()xyxy的展开式中27xy的系数为.(用数字填写答案)解析：888()()()()xyxyxxyyxy，故展开式中22xy的系数为128882820CC14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.解析：乙没去过C城市，甲没去过B城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填A15.已知A，B，C是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为.解析：1()2AOABAC，如图所示，O为BC中点，即BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为216.已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，a=2，且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为.解析：22(2)(sinsin)()sin(2)()()2bABcbCbabcbcabcbc，因为a=2，所以2222222212cos223bcaabcbcbcabcAAbcABC面积13sin24SbcAbc，而2222222244bcabcbcbcabcbcbc13sin324SbcAbc三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分12分)已知数列{na}的前n项和为nS，1a=1，0na，11nnnaaS，其中为常数.(Ⅰ)证明：2nnaa；（Ⅱ）是否存在，使得{na}为等差数列？并说明理由.解析:(Ⅰ)证明：当2n时，1111,1nnnnnnaaSaaS①②，①-②得11111112,0,nnnnnnnnnnnnnnnaaaaSSaaaaaaaaa（Ⅱ）存在，证明如下：假设存在，使得{na}为等差数列，则有2132+aaa，而1a=1，231,1aa，所以2124，此时{na}为首项是1，公差为4的等差数列18.(本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～2(,)N，则()PZ=0.6826，(22)PZ=0.9544.解析:(Ⅰ)0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230200x222222220.021702000.091802000.221902000.332002000.242102000.082202000.02230200150s（Ⅱ）(i)由(Ⅰ)知,2=2s=150,所以15012.2,OB1C1A1ACB(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826PZPZ（ii）100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数X服从二项分布100,0.6826B,所以1000.682668.26EX19.(本小题满分12分)如图三棱柱111ABCABC中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC.(Ⅰ)证明：1ACAB；（Ⅱ）若1ACAB，o160CBB，AB=BC，求二面角111AABC的余弦值.解析:(Ⅰ)证明：侧面11BBCC为菱形,令11BCBCO11BCBC又1ABBC,11111ABBCBBCABCAOABCAOBC面面,又O为1BC中点,所以三角形1ACB为等腰三角形,所以1ACAB（Ⅱ）1ACAB，o160CBB，AB=BC，令1AC122BCBCAB,又由已知可求22226,,,22AOBOAOBOABAOBO11,AOBCBCBOO11AOBBCC面yzxOB1C1A1ACB如图所示建立空间直角坐标系Oxyz13330,0,,1,0,0,0,,0,0,,0333ABBC,1113330,,,1,0,333ABABAB,1131,,03BCBC设,,nxyz为平面11AAB的一个法向量,则111330,0,33,1,3,30303yznABnnABxz即所以可取设,,mabc为平面111ABC的一个法向量,则11110,1,3,30mBCmmAB同理可取则1cos,7