直角三角形与射影定理

直角三角形与射影定理·1·（共4页）ABCDabcpqh直角三角形与射影定理【知识要点】射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB则，1．CD2＝AD·BD2．BC2＝BD·ABAC2＝AD·AB很容易推出：ADBDACBC22．AC·BC＝AB·CD．BC2＋AC2＝AB2．222111CDACBC．AC＋BC＜AB＋CD．用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：①h2＝pq；②a2＝pc；③b2＝qc；④qpba22；⑤ab＝ch；⑥a2＋b2＝c2；⑦222111hba；⑧a＋b＜c＋h；⑨c＝p＋q．利用上述关系式，“知二可求四”，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来．（由于现行教材中没有讲射影定理，所以在使用该定理时应注明：“由射影定理得”几个字）【例题与练习】例1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，E为BC上任意一点，CF⊥AE于F．求证：△ADF∽△AEB例2．勾股六线段的练习：（注意方程的使用）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，BD＝p，AD＝q，CD＝h．⑴已知：a＝3，b＝4，求：h、q、p、c；ABCDEFABCDabcpqh直角三角形与射影定理·2·（共4页）⑵已知：h＝5，c＝12，求：p、b；⑶已知：b＝6，p＝3，求：a、h．例3．矩形ABCD，BD＝3a，AM⊥BD于E，交BC于M，CN⊥AD于F，交AD于N，E、F三等分BD．求：矩形ABCD的面积．【练习】AE、CF垂直于矩形ABCD的对角线BD，E、F分别是垂足，若BE＝1，EF＝2，则矩形ABCD的面积是________________．例4．如图，在△ABC中，CD⊥AC，BD⊥AB，CE⊥AD于E，CE延长线交AB于F．求证：AC2＝AF·AB例5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：△AFE∽△ABCABCDEFMNABCDEFABCDEFABCDEF直角三角形与射影定理·3·（共4页）例6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，M为BC中点，延长DM交AC延长线于N．求证：DNANBCAC．例7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，CD⊥AB，CE平分∠ACB，EF⊥BC于F．求证：⑴FCBCAC111；⑵222111CDBCAC．例8．如图，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于点N，交CB的延长线于点P，若MN＝1，PN＝3，则DM的长为．例9．如图，在等腰直角△ABC中，AD是直角边BC上的中线，BE⊥AD，交AC于E，EF⊥BC，若AB＝BC＝a，求EF的长．例10．（03·菏泽）AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上；点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB边上，设其落点为P．⑴如左图，当点P是AB的中点时，求证：CNCMPBPA＝；⑵如右图，当点P不是AB的中点时，结论CNCMPBPA＝是否仍然成立？若成立，请给出证明．ABCDMNABCDEFABCDMNPABCDEFBMNPACMNPACB直角三角形与射影定理·4·（共4页）已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.⑴如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，AF＝32，求DE的长；⑵如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口8l海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里／时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东60°方向，以l8海里／时的速度驶离港口．现两船同时出发，⑴出发后几小时两船与港口P的距离相等?⑵出发后几小时乙船在甲船的正东方向?（结果精确到0.1小时）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）ABCDEFGABCDEFG图1图24560AP东北