高中数学必修五课件：-《简单的线性规划问题》(人教A版必修)

高中数学必修五课件：-《简单的线性规划问题》(人教A版必修)了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念，掌握线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高解决实际问题的能力．1．关于x，y的不等式(组)称为对变量x，y的约束条件，如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，则称约束条件为________约束条件．答案：线性2．把要求最大(小)值的函数z＝f(x，y)称为________函数．答案：目标自学导引3．在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为________规划问题．满足线性约束条件的解(x，y)叫做________解，由所有可行解组成的集合叫做________域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．答案：线性可行可行线性目标函数z＝2x＋3y最大值的几何意义是什么？自主探究答案：由y＝－23x＋z3知，直线经过平面区域的截距最大时，目标函数有最大值．A．4B．11C．12D．14预习测评1.设变量x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≥1，3x－y≤3.则目标函数z＝4x＋y的最大值为()解析：只需画出线性规划区域，如下图．可知，z＝4x＋y在A(2,3)处取得最大值11.答案：BA．无最大值有最小值B．无最小值有最大值C．无最大值和最小值D．有最大值和最小值解析：可行域无上界．答案：A2.约束条件为x≥0，y≥0，x＋y≥4，2x＋y≥6则目标函数z＝4x＋5y()3．在如图所示的区域内，z＝x＋y的最小值为__________．解析：当直线x＋y－z＝0经过原点时，z最小，最小值为0.答案：04.在如图所示的区域内，z＝－x＋y的最大值为________．解析：因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点时，直线的纵截距最大，最大值为2.答案：21．基本概念(1)约束条件和线性约束条件：变量x，y满足的一次不等式(组)叫做对变量x，y的约束条件；如果约束条件都是关于x，y的一次不等式，那么又称为线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示．(2)目标函数和线性目标函数：求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫目标函数；如果这个解析式是关于x，y的一次解析式，那么又称为线性目标函数．要点阐释(3)线性规划问题：一般地，在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．(4)可行解与可行域：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解，称为这个问题的最优解．2．解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调整时，注意抓住“整数解”这一关键点)．说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．特别提醒：寻找整点最优解的方法①平移找解法：先打网格、描整点、平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法应充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图才行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．②调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．③由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的数逐一检验即可．题型一求线性目标函数的最值典例剖析【例1】求z＝3x＋5y的最小值，使x，y满足约束条件，x＋2y≥3，7x＋10y≥17，x≥0，y≥0.解：画出约束条件表示的点(x，y)的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．作直线l：3x＋5y＝0，把直线向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时，l1：3x＋5y－z＝0的纵截距最小，此时z＝3x＋5y取最小值．解方程组x＋2y＝3，7x＋10y＝17，得M(1,1)．故当x＝1，y＝1时，zmin＝8.图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移直线ax＋by＝0时，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．方法点评：在确定z的最小值时，要抓住z的几何意义，即y＝－35x＋z5.A．有最小值2，最大值3B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最大值，也无最小值1．设x，y满足2x＋y≥4x－y≥－1，x－2y≤2则z＝x＋y()解析：如图所示，作出可行域，作直线l0：x＋y＝0，平移l0，当l0过点A(2,0)时，z有最小值2，无最大值．答案：B题型二求解非线性目标函数的最值【例2】设x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；(2)求v＝yx－5的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域．(1)令t＝x2＋y2.则对t的每个值，x2＋y2＝t表示一簇同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．由下图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆过C点时，u最大，过(0,0)时u最小．又C(3,8)，∴umax＝73，umin＝0.(2)v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的连线的斜率．由图可知，kBD最大，kCD最小．又C(3,8)，B(3，－3)，∴vmax＝－33－5＝32，vmin＝83－5＝－4.方法点评：(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离平方的最值问题．(2)对形如z＝ay＋bcx＋d(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝ac·y－－bax－－dc的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与－dc，－ba连线斜率的ac倍的范围、最值等．注意斜率不存在的情况．特别地，当a＝c＝1，b＝d＝0时，即可对yx进行转化然后求解．2．已知变量x，y满足约束条件x－y＋2≤0x≥1x＋y－7≤0，则yx的最大值是________，最小值是________．解析：由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z＝yx表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C与O连线斜率最大；B与O连线斜率最小，又B点坐标为52，92，C点坐标为(1,6)，所以kOB＝95，kOC＝6.故yx的最大值为6，最小值为95.答案：695题型三线性规划的实际应用【例3】某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0．3x＋0.1y＝1.8的交点．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．解方程组x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∵70.∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．方法点评：充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格的形式列出限制条件．3．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kW，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kW，劳力10个．又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kW，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？解：设此工厂应生产甲、乙两种产品xkg、ykg，利用z万元，则依题意可得约束条件：9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥0，y≥0.利润目标函数为z＝7x＋12y.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如下图)．作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移至l1位置时，直线l经过可行域上的点M时，此时z＝7x＋12y取最大值．解方程组3x＋10y＝300，4x＋5y＝200，得M点的坐标为(20,24)．答：应生产甲种产品20千克，乙种产品24千克，才能获得最大经济效益．误区解密凭空而想，没抓住问题本质致误【例4】设变量x，y满足条件3x＋2y≤10，x＋4y≤11，x∈Z，y∈Z，x＞0，y＞0，求S＝5x＋4y的最大值．错解：依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x，y为整数的条件，则当直线5x＋4y＝S过点A95，2312时，离原点距离最大，这时S＝5x＋4y取最大值，Smax＝1815.因为x、y为整数，而离点A最近的整点是C(1,2)，这时S＝13，所以所求的最大值为13.错因分析：显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14，故上述解法不正确．对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象，则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．正解：与错解中第一段解题过程相同．因为x，y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起第一个通过的可行域的整点是B(2,1)，此时Smax＝14.1．常见的几种目标函数的最值的求法：①利用截距的几何意义；②利用斜率的几何意义；③利用距离的几何意义．往往是根据题中给出的不等式，求出(x，y)的可行域，利用(x，y)的条件约束，数形结合求得目标函数的最值．课堂总结