固体物理第五章习题

1第五章习题21.晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为（1）（2），f是某一函数，求电子在以上状态中的波矢。3()coskxixa()()klxfxla3由《固体物理教程》（5.14）式[求解]()()nikRknkrRer()()ikakkxaex33()cos[()]cos()3cos()kxaixaixaaixa1ikae35,,,kaaa可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足由此得于是（1）35,,,kaaa因此得4若只取布里渊区内的值：kaaka()()[(1)]kllxafxalafxla'1ll()(')()()ikakkklxafxlaxex1ikae2460,,,,kaaa则有（2）令得由上式知所以有由此得在布里渊区内的值为k=0。52221[()],()20,(1)mWbxnanabxnabVxnabxnab2.一维周期势场为其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值。6图：一维周期势场2221[()],()20,(1)mWbxnanabxnabVxnabxnab[求解]72211()()4ababVVxdxVxdxab22211[]42bbmWbxdxb223221[]8316bbmWbxxbmWb由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周期内求平均即可，于是得2221[()],()20,(1)mWbxnanabxnabVxnabxnab83.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。92221()ainxanaVVxedxa22112122()aixagaEVVxedxa2222112()42ixbbbmWbxedxb2222231182()cos()422bbmWbmWbxxdxbb根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为Eg=2|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式[求解]求得第一个禁带宽度为1042222122()aixagaEVVxedxa222112()42ixbbbmWbxedxb222112()cos()42bbmWbxxdxbb222mWb第二禁带宽度为115.对简立方结构晶体，其晶格常数为a。（1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带；（2）分别画出第一布里渊区[110]方向的能带、电子的平均速度、有效质量以及沿[110]方向有恒定电场时的加速度曲线。12()nikRatssSSnEkECJe(,0,0)a(0,,0)a(0,0,)a()(coscoscos)atssSSxyzEkECJkakaka[求解]非简并s态电子的能带式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取参考格点的坐标为(0,0,0)，6个最近邻坐标为简单立方晶体非简并s态电子的能带则为1320,2zyxkkkk02()4(cos)2sSkaEkEJ（2）在[110]方向上能带变成其中02atsSSEECJ在[110]方向上，在第一布里渊区内，电子的能带如图所示14电子的平均速度2212sin()2SJaEkavk平均速度曲线15有效质量曲线电子的有效质量2222222cos()2SmEkaJak16在[110]方向上有恒定电场情况下，电子受的力Fe2222cos()2SkaeJaFam电子的加速度设电场方向与[110]方向相反，加速度曲线则如图177．用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出(1)s态电子的能带为()8coscoscos;222yatxzssSskakakaEkECJ(2)画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线；(3)求出带底和带顶电子的有效质量.18(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为(),natikRssSsnEkECJenR[解答]是最近邻格矢．对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0,0,0）则８个最近邻格点的坐标为,,222aaa19将上述8组坐标代入能带的表示式，得22222222222()[]2[coscos22nxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyxyatikRssssnaaaaaikkkikkkikkkikkkikkkatsssaaaikkkikkkikkkaaikkikkatzzsssaiEkECJeECJeeeeeeeekakaECJeee222coscos]224coscos228coscoscos222xyxyxxakkikkzzaaikikyatzsssyatxzssskakaekakaECJeekakakaECJ20(2)在[111]方向上3,3xyzkkkkxyzkkka3038cos6skaEEJ其中0atsSEEC且第一布里渊区边界在于是能带化成第一布里渊区[111]方向的能带曲线21(3)由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带底，电子有效质量为2222202ixxssxkmEJak同理可得2222,.22yyzzssmmJaJa其他交叉项的倒数全为零．22而在布里渊区边界上的222,0,0,0,,0,0,0,aaa处是能带顶，电子的有效质量为其他交叉项的倒数也全为零．222xxyyzzsmmmJa2313．平面正三角形结构，相邻原子间距为a，试求(1)正格矢和倒格矢；(2)画出第一和第二布里渊区，求第一布里渊区内切圆半径．24(1)正格原胞的基矢如图所示取为123,.22aaaiaiaj12,,aak23.2a[解答]i和j是相互垂直的单位矢量．取单位矢量k垂直与i和j构成的体积则倒格原胞的基矢为21122223243akbijaakabja25(2)选定一例格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，它们是：b1,b2,(b1+b2)22.23bka这6个倒格矢中垂线围成区间构成了两部分：以原点为对称心正六边形是第一布里渊区．正六边形外的6个三角形部分是第二布里渊区。第一布里渊区内切圆半径2619．证明迪·阿哈斯－范阿耳芬效应的周期为12,eBS其中Ｓ是kz=0平面在费密球上所截出的面积．27由热力学可知，当磁感应强度B增加dB时，磁场H所作的功,cdUVHdB,cUVHB01.BH[解答]即系统内能的微分其中Vc是晶体体积．由电磁学可知，磁感应强度、磁场和磁化率的关系是28由(1)，(2)两式可得01cVBUB123222021().82lcccnVmNEEn其中0是真空中的磁导率．由上式可以看出，磁化率随磁场的倒数作振荡，应是系统内能微商U/B随1/B作振荡的反映．当不存在磁场时，能态在波矢空间分布是均匀的．当由磁场存在时，能态重新分布，磁场的作用使电子的量子态高度简并，此时电子的状态密度为29令322221,.82cccnVmanb323212000032022()3322.FFEllEFnnnnnlnFnnnaEdEUENEdEaEbabEbabEbab3212321200321222223333{2[32[]}2lnnFnnnnnlnnnFnFnnnFnnnnbbUaaEbabbabBBBBBbbBabEbaEbabBBEbbababBB则电子系统的能量对上式求微分30可见，每当时，U/B将成为极大值，磁化率将变成极小值．设B=Bi时，对应磁化率的一个极小值，相邻的一个极小值对应B=Bi+111,22nceBbnnm因为所以式中有一项12nbenBm012212nlnnnFnFabneabbBEbeBmEnm12FeBnEm111,2iFeBnEm12FeBnEm31上式的(1/B)是一个固定的常量，这说明，每当两个1/B的间距(周期)等于这一常量时，磁化率曲线就多一个极小．也就是说，磁化率以磁场倒数（1/B）作振荡．因为kz=0的平面在费密球上截得的圆面积费密能所以有其中我们假设Bi+1大于Bi，由以上两式可得1111,iiFeBBBmE2FSk222FFkEm12.eBSFemE3220．从E=E0到E=EF能带都为22220,2yxzxyzkkkEEmmm03()2cFFVnNEEE其中mx,my,mz都是大于零常数．求电子能态密度其中n为单位体积内的电子数．33由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为2220002221.222yxzxyzkkkmEEmEEmEE2222221xyzabc3203422.3xyzmmmEE[解答]将上式与椭球公式比较可知．在波矢空间内电子等能面是一椭面，与椭球的体积4abc/3比较可得到，能量为E的等能面围成的椭球体积34能量区间E-E+dE内电子的状态数目由上式可得120342.xyzdmmmEEdE12032322,2ccxyzVVdzdmmmEEdE12023()2cxyzVdzNEmmmEEdE0320232()2,3FEccxyzFEVVnNEdEmmmEEVc是晶体体积，电子的能态密度设电子浓度为n，则E0-EF区间电子总数为Vcn且35将上式与能态密度12023()2.cFxyzFVNEmmmEE03()2cFFVnNEEE比较，得