3.4基本不等式ppt

3.4基本不等式高二数学组2002年国际数学家大会会标创设情境、体会感知：三国时期吴国的数学家赵爽思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？一、探究问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？22ab2ab222abab易得，ss’,即ADCBc22abHGFEab问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？变化的弦图22ba结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立222abab问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？形数此不等式称为重要不等式222abab2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解1.思考:如果用去替换中的,能得到什么结论?必须要满足什么条件?,ab222,ababab,ab算术平均数几何平均数基本不等式3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.222(ababaR、b）重要不等式：(0,0)2ababab注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。构造条件三、应用0,02ababab（）20,0ababab（）例1、若,求的最小值.10xyxx变3:若,求的最小值.133xyxx变1:若求的最小值120,3xyxx变2:若,求的最小值.0,0baabyab发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？0,02ababab（）0,02ababab2（）三、应用例2、已知,求函数的最大值.01(1)xyxx变式:已知,求函数的最大值.10(12)2xyxx发现运算结构，应用不等式应用要点：一正二定三相等例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.2xyxy2100,xy2()40xy等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x+y）=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy=18/2=9得xy81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。1、本节课主要内容？你会了吗？四、小结2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba(a0,b0)2abab1.x＞0,当x取何值时，的值最小？最小值是多少？2.已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小，最小值是多少？3.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？作业xx1(课本100页)1.设0，0，若是与的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（）A.8B.4C.1D.41（2009年天津理6）B证明:要证abba2只要证ba()①②要证②，只要证ba0()③要证③，只要证（－)20ab2ab2ab④ba显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.abba20,0baoabABPQ如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____ab2ba几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长动态演示你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?