经典例题题型一平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例1.两个向量的夹角(1)定义已知两个______向量a和b，作(2)范围向量夹角q的范围是______________，a与b同向时，夹角q=______；a与b反向时，夹角q=______(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是______，则a与b垂直，记作______.,,OAaOBb则∠AOB=q叫做向量a与b的夹角．0°≤q≤180°0°180°.90°a⊥b非零基础梳理|a||b|cosθ|a||b|cosθ2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=,并规定零向量与任一向量的数量积为.0|a|cosθ(2)a在b方向上的投影设θ为两个非零向量a,b的夹角，则叫做a在b方向上的投影.b在a方向上的投影（3）a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与|b|cosθ的乘积.|a|cosθ0|a||b|abab3.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=.(2)a⊥ba·b=.(3)当a与b同向时,a·b=.当a与b反向时,a·b=.特别地:a·a=a2=|a|2或|a|=.(4)|a·b||a||b|.(5)cos〈a,b〉=.aa-|a||b|≤b·aa·(λb)λ(a·b)4.向量数量积的运算律(1)a·b=(交换律);(2)(λa)·b==(数乘结合律);(3)(a+b)·c=(分配律).a·c+b·c联系向量问题向量运算几何关系x1x2+y1y22211xy2222xyx1x2+y1y2=0121222221122xxyyxyxy5.平面向量数量积的坐标表示a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=；(2)|a|=,|b|=;(3)a⊥b;(4)若a与b夹角为θ,则cosθ=(5)若A(x1,y1)，B（x2,y2）,则A、B两点间的距离为|AB|=.6.平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;(3)通过研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成.222121()()xxyy3.（2011·嘉兴模拟）向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为.基础达标1.（教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，AB·BC的值为.2.（教材改编题）设向量a=(4,5)，b=(-1,0),则向量a+b与a-b的夹角的余弦值为.-241717531.解析：||||cos1202ABBCABBC2.解析：a＋b＝(3,5)，a－b＝(5,5)，cos〈a＋b，a－b〉＝417174.如图，在平行四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(-3,2),则AD·AC=.33.解析：a在x轴上的投影为|a|cos150°＝10×＝.53324.解析：令则⇒a＝(2,0)，b＝(－1,2)，所以＝b·(a＋b)＝3.,,ABaADbADAC5.(教材改编题)已知a=(1,6),b=(2,k),若a∥b,k=;若a⊥b，则k=.1213解析：若a∥b，则1×k－6×2＝0，∴k＝12.若a⊥b，则a·b＝0，∴1×2＋6×k＝0，∴k＝.13经典例题题型一平面向量的数量积【例1】已知a,b是非零向量.（1）若a⊥b，判断函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)的奇偶性；（2）若f(x)为奇函数，证明：a⊥b.解：（1）f(x)=x2a·b+(b2-a2)x-a·b,∵a⊥b,∴a·b=0，∴f(x)=(b2-a2)x.①当|a|≠|b|时，f(x)为奇函数；②当|a|=|b|时，f(x)既是奇函数又是偶函数.（2）因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)对于x∈R恒成立，所以f(0)=0,即-a·b=0,又a,b是非零向量，故a⊥b.变式1-1已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-1),且f(x)=a·b，求f(x)的最大值.解：f(x)=a·b=cosx-sinx=2（cosx-sinx）,f(x)=2sin（-x）,∴f(x)max=2.332123题型二模与垂直问题【例2】(1)(2011×衡阳模拟)在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，在△ABC中，=i-2j，=2i+j，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形(2)(2010×广东改编)已知向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)．①若|2a+b-c|=1，求实数x的值；②若(8a-b)⊥c，求实数x的值．AC解(1)∵∴即AB⊥AC，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，故选C.(2)①∵2a+b-c=2(1,1)+(2,5)-(3，x)=(1,7-x)．又∵|2a+b-c|=1，∴=1，∴(7-x)2=0，∴x=7.②8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)．由(8a-b)⊥c，得18+3x=0，∴x=-6.222320,ABACiij222445,ABiijj222445,ACiijj22,,ABACABAC172x变式2-1已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.(1)计算|a+b|,|4a-2b|;(2)k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)?解：由已知,a·b=4×8×-（）=-16.(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=.∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=3×162,∴|4a-2b|=.(2)若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.4316312变式3-1(2011·北京模拟)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且b⊥(a+b),求向量a,b的夹角〈a,b〉.题型三夹角问题【例3】（2011·台州模拟）在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点.若O是线段AM上任意一点，且|AB|=|AC|=，求向量OA·OB+OC·OA的最小值.2解.12=-2x(1-x)=2x2-2x=2-2,1.ABACAM,1,OAxOMx设则2,OBOCOM而()2OAOBOCOAOM2cosOAOM12x12当且仅当x=时，1()2OAOBOC取最小值解：∵|a|=2|b|,b⊥(a+b),∴b·a+b2=0,∴a·b=-|b|2.又∵cos〈a,b〉=又〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=.2122bababbb23易错警示【例】已知a,b均为单位向量，且a⊥b,若向量a+λb与λa+2b的夹角为钝角，求λ的取值范围.错解：∵|a|=|b|=1,a·b=0,∴(a+λb)·(λa+2b)=λa2+(2+λ2)a·b+2λb2=λ+2λ=3λ.又a+λb与λa+2b的夹角为钝角，∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,∴3λ＜0,∴λ＜0.错解分析cos〈a,b〉＜0a,b〉∈,本题中〈a+λb,λa+2b〉为钝角，故须〈a+λb,λa+2b〉=π时的λ的值舍去.(,]2正解：∵a+λb与λa+2b的夹角为钝角，∴(a+λb)·(λa+2b)＜0,即λ＜0,且,∴λ≠±.综上，λ的取值范围为(-∞,-)∪(-,0).12222链接高考1.（2010·天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB,BC=BD,|AD|=1,则AC·AD=()A.2B.C.D.B.知识准备:1.平面向量的数量积公式;2.基底向量表示目标向量.33333321.D解析：由图可得：AC·AD=(AB+BC)·AD=AB·AD+BC·AD=0+BD·AD=(BA+AD)·AD=|AD|2=.33332.（2010·安徽）设向量a=(1,0)，b=（,）,则下列结论中正确的是()A.|a|=|b|B.a·b=C.a-b与b垂直D.a∥b知识准备:1.向量的长度及数量积的坐标运算公式；2.向量平行、垂直的坐标判定方法.1212222.C解析:由|a|=,|b|=,所以|a|≠|b|,故A错误;由a·b=1×+0×=≠,故B错误;由(a-b)·b=×+（-）×=0,所以(a-b)⊥b,故C正确;显然D错误.2210122112()()2222212121212121212