二元一次不等式表示平面区域

热烈欢迎各位领导和老师光临指导！二元一次不等式表示平面区域xyo本节课学习目标：1.会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域。2.能画出二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域。3.会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。4.通过认识不等式与平面区域的内在关系，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高分析问题和解决问题的能力。在平面直角坐标系中,点的集合{（x,y)|x-y+1=0}表示什么图形？忆一忆111xy1-1xyox-y+1=0提出问题-------以旧引新点的集合{（x,y)|x-y+10}表示什么图形？直觉：它可能与直线x-y+1=0有关系。分析：在坐标系中所有的点被直线x-y+1=0分成三类：一类：在直线x-y+1=0上;二类：在直线x-y+1=0的上方的平面区域内；三类：在直线x-y+1=0的下方的平面区域内。-11类2类3类oxy解决问题------猜想证明直觉：不等式x-y+10在平面坐标系中所表示的图形是否是直线x-y+1=0划分平面的一部分呢？构造一个二元函数F(x,y)=x-y+1,对于任意一个点(x0,y0),都有成立.000(,)00Fxy好奇心当然会使我们问：直线上方及直线下方的点又会F(x0,y0)=x0-y0+1的值怎样呢？点(x0,y0)在直线x-y+1=0上F(x0,y0)=x0-y0+1=0好奇，联想，直觉,合理猜测和逆向思维往往是引发发明与创造的火花。哇！竟有这么厉害？!有什么规律吗？然后再选取直线x-y+1=0上方的一些特殊点(0,2)，（1,4),(-1,1),计算F(x,y)=x-y+1的值.尝试：选取直线x-y+1=0下方的一些特殊点(0,0),(2,1),(-1,-5),计算F(x,y)=x-y+1的值.解决问题------猜想证明F(0,0)=x-y+1=1F(-1,-5)=x-y+1=5F(2,1)=x-y+1=2F(0,2)=x-y+1=-1F(-1,1)=x-y+1=-1F(1,4)=x-y+1=-2xyox-y+1=0解决问题------猜想证明发挥创造才干大胆探索由特殊到一般再猜:不等式x-y+10所表示的平面区域又是什么呢？答：直线x-y+1=0的上方部分.直线x-y+1=0下方的点都使x-y+10。xyo-11x-y+10x-y+10x-y+1=0猜想一般结论：再猜：不等式x-y+10表示的平面区域是什么？就是直线x-y+1=0的下方的部分。直线x-y+1=0上方的点都使x-y+10。证一证：xyo1-1x-y+1=0y=y0M(x,y)如图，在直线x-y+1=0上取一点P(x0,y0)，过点P作平行于x轴的直线y=y0,对在此直线上点P右侧的任意一点(x,y)都有：且y=y0xx0故x-yx0-y0有:x-y+1x0-y0+1即有x-y+10因为点p为直线x-y+1=0上任意一点,故对于直线x-y+1=0右下方的任意点(x,y),都有x-y+10。同理,对于直线左上方的任意一点(x,y),都有x-y+10。又P(x0,y0)在直线x-y+1=0上，故x0-y0+1=0。P(x0,y0)所以，在平面直角坐标系中，二元一次不等式x-y+10表示直线x-y+1=0下方的平面区域，而二元一次不等式x-y+10表示直线x-y+1=0上方的平面区域.xyox-y+10x-y+1=0x-y+10-11嘿，真猜对了！而且这条直线就是三八线！还有其它类似证明方法吗?想一想:（1）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（2）在确定区域时，在直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C0表示哪一侧的区域。得出结论：一般在C≠0时，取原点作为特殊点。为什么？这是因为：把直线Ax+By+C=0同一侧所有的点（x,y）代入Ax+By+C，所得到的实数的符号相同。特别注意:在画二元一次不等式所表示的平面区域时,要注意所求区域是否包括边界直线.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，画成实线以表示区域包括边界直线。如不等式x-y+1≥0表示的平面区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线。图1。约定：xy-11图1o如不等式x-y+10表示的平面区域不包括边界直线，则把边界直线画成虚线。图2。xy1-1o图2例题讲解------从理论回到实践xyo2x+y-6=02x+y-6036例1：画出不等式2x+y-60表示的平面区域。解：1.先画直线2x+y-6=0(画成虚线)2.取原点（0,0),代入2x+y-6,因为2x0+0-6=-60.所以原点在2x+y-60表示的区域内。3.画出不等式2x+y-60所表示的平面区域。小结:平面区域的确定常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。练习1：画出下列不等式表示的平面区域：（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０（2）ｘ＋2ｙ≤０（3）４ｘ－３ｙ≤１２OXY32（1）OYX3-4（3）练一练（2）XY-2同学们从刚才的解题中能总结出确定平面区域的简捷方法吗？解后思:2310231023102310xyxyxyxy2310231023102310xyxyxyxy2310231023102310xyxyxyxy2310231023102310xyxyxyxy上方上方上方上方上方上方上方上方下方下方下方下方下方下方下方下方解后思:结论:y的系数B与Ax+By+C同号直线Ax+By+C=0的上方y的系数B与Ax+By+C异号直线Ax+By+C=0的下方o练一练直线y=2x+4及下方平面区域可用哪个二元一次不等式来表示？xy-24解1：用特殊点定域。解2：用上述结论。Key:2x-y+40口诀:同号为上,异号为下.知识扩展：直线y-2=k(x-2)与以A(-1,-1)和B(4,-2)为端点的线段相交,求实数k的取值范围。解2:由题意可知,A,B两点在直线kx-y-2k+2=0上或在其两侧,所以A(-1,-1)和B(4,-2)应使F(x,y)=kx-y-2k+2的值为0或异号，从而有：F(-1,-1)×F(4,-2)≤0。即(-3k+3)(2k+4)≤0。故k≥1或k≤-2xyoA(-1,-1)B(4,-2)C(2,2)解1:数形结合,动静结合.问:直线y-2=k(x-2)不与线段AB相交,求实数k的取值范围。例2：画出不等式组表示的平面区域.3005xyxyxOXYx-y+5=0x=3x+y=0解：1.先画出每个二元一次不等式所表示的平面区域。不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合。x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合。x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合。2.不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。注意：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。1.画出下列不等式组表示的平面区域：242yyxxy9362323xyyxxyx练一练(1)(2)4oxY-2OXY3322.由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域如下图,242yyxxyoxY4-2则用不等式组可表示为:思考1:可用来表示由A(8,-2),B(-2,-2),C(，）三点所围成的三角形平面区域的不等式组是____。4343BAC变式习题思考2:当直线AB与坐标轴不平行时,如何求三角形ABC的面积?（2）（1）3.画出不等式（x+y-3)(x-2y+1)0所表示的平面区域。解:原不等式可转化为不等式组：(1)或(2)30210xyxy30210xyxyxyo不等式组(1)所表示的平面区域为图中的阴影部分(1)。不等式组(2)所表示的平面区域为图中的阴影部分(2)。所以,原不等式所表示的平面区域为(1)(2)两部分。x+y-3=0x-y+1=0小结:1、二元一次方程Ax+By+C=0表示平面内的一条直线,二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0某一侧的平面区域,Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0另一侧的平面区域。2、不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。4、若不等式中不含等号，则边界应画成虚线，否则应画成实线。5、逐步学会用特殊---猜想一般结论----证明的思路来解决数学问题.1.求不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面区域的面积.2.求不等式组表示的平面区域3.已知实数x,y满足2x+y≤1,求u=的最小值.2242xyxy思维与能力扩展:内的整点坐标.21yxyx4.如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点,则(a,b)在平面aob内的区域为________.对照学习目标：1.会根据二元一次不等式确定它所表示的平面区域。2.能画出二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域。3.会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示。4.通过认识不等式与平面区域的内在关系，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高分析问题和解决问题的能力。你达到了本节的要求吗？这节课——使我感触最深的是……我感到最困难的是……我学会了……我发现了生活中……我想我将……作业：1、课本P64第1题(要求每题画一个图）2、《学海导航》7.11