2第二章-随机变量及其分布

第二章随机变量及其分布第一节离散型随机变量及其分布第二节连续型随机变量及其分布第三节随机变量的函数的分布概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．1.随机变量第一节离散型随机变量及其分布实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}非数量将S数量化?可采用下列方法S红色白色)(eXR10即有X(红色)=1,.,0,,1)(白色红色eeeXX(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.实例2抛掷骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61}{iiXPS={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量恒等变换且有eeX)(则有定义2.1.1设X＝X(w)是定义在样本空间W上的实值函数，称X＝X(w)为随机变量.随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示或希腊字母,η,ζ,….等表示。下图给出样本点w与实数X＝X(w)对应的示意图W1w2w3wx实例3掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:),(1反面朝上e),(2正面朝上e若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有)(eX)(1反面朝上e)(2正面朝上e100)(1eX1)(2eX即X是一个随机变量.实例4在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:).,(),,(,),(),,(4321女女男女女男男男eeee若用X表示该家女孩子的个数时,则有,0)(1eX,1)(2eX,1)(3eX,2)(4eX可得随机变量X=.,2,,,1,,0)(4321eeeeeeeeeX实例5设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则,)(抽得的白球数eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:,0,1.2实例6观察某城市的120急救电话台一昼夜接到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数，那么表示一随机事件，显然也表示一随机事件．),2,1,0(}{kkX),2,1,0(}{kkX实例7某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,)(此人的等车时间eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:).5,0[随机变量是定义在样本空间上的一个函数,随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量的某种取值都对应一个随机事件；而随机变量的取值概率即为所对应的随机事件的概率。说明随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量的可能取值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X的可能取值是:随机变量连续型实例11,2,3,4,5,6.非离散型其它实例2若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X的可能取值是:.,3,2,1实例3设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量X记为“击中目标的次数”,则X的所有可能取值为:.30,,3,2,1,0实例1随机变量X为“灯泡的寿命”.).,0[(2)连续型随机变量举例则X的取值范围为实例2在区间[0，1]上随机地投点，随机变量X为“点的位置（坐标）”。则X的取值范围为[0，1]),2,1(kxkX取各个可能值的概率，即事件的概率为}{kxX{},1,2,kkPXxpk（2.1.1）则称（2.1.1）式为离散型随机变量X的分布律或概率分布。定义2.1.2设离散型随机变量X所有可能取值为2.离散型随机变量及其分布律分布律也可以直观地用下面的表格来表示：Xnxxx21kpnppp21由概率的定义知，分布律中的应满足以下条件：kp,,2,1,01kpk。.121kkp。随机变量X的所有取值随机变量X的各个取值所对应的概率例1设随机变量的分布律为，XNakXP)(Nk,,2,1，试确定常数。a解：1)(11NaNNakXPNkNk1a例2某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分布律。解（1）确定r.v.X的所有可能取值；（2）求X取各个可能值的概率，即求所对应的随机事件的概率。X=0,1,22,1iiAi台机器发生故障”，表示事件“第设72.08.09.0)()()(}0{2121APAPAAPXP26.02.09.08.01.0)()(}1{2121AAPAAPXP02.02.01.0)(}2{21＝AAPXP故X的分布律为：X210kp02.026.072.0例2.2.1超几何分布例3某盒产品中恰有8件正品，2件次品，每次从中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止，ξ表示抽取次数，求ξ的分布律。解：ξ的可能取值为：1，2，3}1{P54108“第一次取到正品”}2{P45898102“第一次取到次品，第二次取到正品”}3{P4518891102“前两次均取到次品，第三次取到正品”思考：将“无放回”改成“有放回”，求ξ的分布律。故ξ的分布律为ξP15423458451ξ的可能取值为：1，2，3，…,3,2,1,5451}{1kkPk例2.2.2几何分布3.（0－1）分布（或两点分布）设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是)1,10(1,0,}{1qppkqpkXPkk则称X服从（0－1）分布或两点分布．（0－1）分布的分布律也可写成X10kppq抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X＝0,反面X＝1TH对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在W上定义一个服从（0－1）分布的随机变量．12{,}.,1,,0)(21来描述这个随机试验的结果。检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述．现在求Ｘ的分布律．所有可能取的值为则X.,,2,1,0n,发生的次数重伯努利试验中事件表示若AnX4.二项分布012kknknPXkCpqkn，，，，，显然0PXk00()1nnkknknnkkPXkCpqpq满足分布律的两个条件即kXP注意到刚好是二项式的展开式中出kknknCpqnqp)(的二项分布服从参数为的那一项，故称现pnXvrpk,..X记为(,)Bnp～二项分布1n两点分布这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只中恰有只元件问只现在从中随机地抽查品率为级已知某一大批产品的一小时的为一级品用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析.2020,重伯努利试验只元件相当于做检查验一级品看成是一次试把检查一只元件是否为例2.2.4解,20只元件中一级品的只数记以X),2.0,20(~bX则因此所求概率为2020{}(0.2)(0.8),0,1,,20.kkkPXkCk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP作出上表的图形，如下图所示直至达到先是随之增加增加时，概率从上图可以看出，当,}{kXPk4knp最大值（），随后单调减少.一般地，对于固定的及，二项分布都有类似的结果),(pnb定义：二项分布的最可能值为书P31[(1)]np解,X设击中的次数为~(400,0.01).Xb的分布律为X400400(0.01)(0.99),kkkPXkC.400,,1,0k因此{3}1{0}{1}{2}PXPXPXPX400399223984001(0.99)400(0.01)(0.99)(0.01)(0.99)C例2.2.5设每次射击命中目标的概率为0.01，现独立地射击400次，求（1）最可能命中目标的次数及相应的概率；（2）至少3次命中目标的概率？443964004(0.01)(0.99),PXC检查10个产品,10个产品中的次品数X~B(10,p),p为次品率调查50人,50人中的色盲人数Y~B(50,p),p为色盲率射击20次,20次射击中的命中次数Z~B(20,p),p命中率5.泊松分布0,1,2,X设随机变量所有可能取值为，！kkXPke，，，，210k0其中是常数~()XP记为且有显然，,,2,1,0}{kkXP1eeee000kkkkkkkkXP！！而取各个值的概率为X则称服从参数为的泊松分布，满足分布律的两个条件即}{kXP观察某放射性物质(体积是V)在单位时间(7.5秒)内放出α粒子数X的规律,X是个随机变量.把该物质n等分,假设①各小块在单位时间内至多放出1个粒子,且各小块在单位时间内放出1个粒子的概率pn≈kV/n=λ/n(其中k是放射常数,从而λ0也是常数)放出两个及以上粒子的概率是V/n的高阶无穷小②各小块在单位时间内放出粒子相互独立.5)P(X5n55nn)nλ(1)nλ(Clim5)(n)nλ(λn55n)nλ(1nλ5!4)3)(n2)(n1)(nn(nlimλ5e5!λ在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.泊松分布往往和单位时间,单位面积,单位产品上的计数过程相联系定义：泊松分布的最可能值为.P40[]例2.2.6二项分布泊松分布)(nnp泊松定理当n很大，p很小（np=λ）时，有以下近似式（书P39定理2.1.1）)(!)1(npekppCkknkkn其中（2.1.8）设1000只产品中的次品数为X,则可利用泊松定理计算,.100101000所求概率为2642411099900010C99901999110001000......!264241101e1e111解}2{XP}1{}0{1XPXP),001.0,1000X~b(例4有计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求在1000只产品中至少有2只次品的概率。}2{XP例:某商店某种商品每月销售数X服从参数是5的Poisson分布,为了以95%以上的把握不脱销,问月底至少应该进该商品多少件.(假设无库存)解:设至少要进货a件0.95,a)P(X0.05a)P(X9a查表得实例在区间[0，1]上随机地投点，随机变量X为“点的位置（坐标）”.则连续型r.v.X的取值范围为[0，1])(xXP任取一实数]1,0[x01x)(处点落在坐标xP几何概率010没有多大的意义为了对离散型和连续型r.v.以及其它类型的r.v.给出一种统一的描述方法，我们考虑一个r.v.的取值落在区间的概率。],(21xx}{21xXxP}{}{12xXPxXP)(2xF)(1xF}{21xXxP).()(12xFxF?F(x)是r