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第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．1.1柱、锥、台、球的结构特征课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典第2课时圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征[目标]1.记住圆柱、圆锥、圆台、球的定义及它们的结构特征；2.能用圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征解答一些相关问题．[重点]圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征．[重点]圆柱、圆锥、圆台之间关系的理解．圆柱[填一填]以为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的叫做圆柱．矩形的一边所在直线旋转体旋转轴叫做圆柱的；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的和统称为柱体．轴底面侧面母线．棱柱圆柱[答一答]1．①在圆柱中，圆柱的任意两条母线是什么关系？过两条母线的截面是怎样的图形？②在圆柱中，过轴的截面是轴截面，圆柱的轴截面是什么图形？轴截面含有哪些重要的量？③圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？提示：①圆柱的任意两条母线平行，过两条母线的截面是矩形．②圆柱的轴截面是矩形，轴截面中含有圆柱的底面直径与圆柱的母线．③不一定．圆柱的母线与轴是平行的．[填一填]以所在直线为旋转轴，其余旋转形成的面所围成的叫做圆锥．与统称为锥体．圆锥直角三角形的一条直角边两边旋转体棱锥圆锥[答一答]2．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗？提示：不是．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底面圆锥组成的几何体．[填一填]用于圆锥底面的平面去截圆锥，与之间的部分叫做圆台．与统称为台体．圆台平行底面截面棱台圆台[答一答]3．类比圆柱、圆锥的形成过程，圆台可以由平面图形旋转而成吗？提示：(1)圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其两底边的中点连线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．[填一填]以的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的叫做球体，简称为球．半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的，半圆的直径叫做球的球体半圆半圆面旋转体球心半径直径．[答一答]4．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？它与球有区别吗？提示：半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面积而不能度量体积，球是由球面围成的几何体，它不仅可以度量球的表面积，还可以度量其体积．5．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？提示：不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括表面及其内部．[例1]给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；旋转体的结构特征④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④[解析]由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．[答案]D简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．[变式训练1]以下说法中：①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1；②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径；④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等．其中正确的序号为________．解析：圆台上、下底面不等，所以面积比不等于1，所以①正确；矩形绕其一边所在直线旋转才可以围成圆柱，所以②不正确；圆锥母线不一定大于底面直径，所以③不正确；圆台的上、下底面一定平行，所以④不正确．答案：①命题视角1：圆柱、圆锥、圆台的计算问题[例2]已知一个圆台的上、下底面半径分别是1cm，2cm，截得圆台的圆锥的母线长为12cm，求这个圆台的母线长．[分析]圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径，因而用轴截面解答．旋转体的有关计算[解]如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2cm，A′O′＝1cm，SA＝12cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)．故这个圆台的母线长为6cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化.对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解.这是解答圆台问题常用的方法.[变式训练2]用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是14，截去的小圆锥的母线长是3cm，则圆台的母线长________cm.解析：如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9cm.答案：9命题视角2：球的截面问题[例3]在半径为25cm的球内有一个截面，它的面积是49πcm2，求球心到这个截面的距离．[分析]画出球的截面图，球心与截面圆心连线垂直于截面所在的平面，构造直角三角形解决．[解]设球半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49πcm2，所以r＝7cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24cm.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.[变式训练3]已知正方体的棱长为a，求它的外接球的半径．解：正方体的外接球与正方体相连接的点为正方体的各个顶点，故应作正方体的对角面，则球的轴截面为对角面矩形的外接圆，如图所示，设球的半径为R2，则(2R2)2＝(2a)2＋a22＝32a.[例4]如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？旋转体的展开图问题[解]把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋2π2＝21＋π2，故蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.求旋转体侧面上两点间的最短距离，一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.[变式训练4]若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？解：可把圆柱展开两次，如图，则AB′即为所求．∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝AB2＋BB′2＝4＋16π2＝21＋4π2.故蚂蚁爬行的最短距离为21＋4π2.