教学案例

§3.4基本不等式第1课时开封市第二十五中学张涛【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过数和形两方面探究基本不等式；3．情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣，并通过不等式的几何解释，让学生体会数形结合思想。【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式abba2的证明过程；【教学难点】基本不等式的内涵及几何意义的挖掘.【教学过程】一、课题导入基本不等式abba2的几何背景：如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表我们中国人民热情好客。初中我们曾经学过赵爽的弦图，用来干什么呢？用来证明直角三角形边长之间的勾股关系的．现在我们再次把它拿来是为了研究新的课题“基本不等式”（板书课题）你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。二、讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为22ab。由于4个直角三角形的面积的和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222abab。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有222abab。疑问：前面的不等式是在a0,b0的条件下成立的，那么a,b的条件能扩大吗？该结论还成立吗？（举例验证）2．得到结论：一般地，如果)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba3．思考：你能给出它的证明吗？（作差法）证明：因为222)(2baabba当22,()0,,()0,abababab时当时所以，0)(2ba，即.222abba4．问题1：今有一台天平，两臂长不等，其余均精确。小王说要用它称物体的重量，只需将它放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的一半就是物体的真实重量。他说的对吗？（设物体分别放在左、右托盘称得的重量分别为a,b）分析：①设第一次称量时，放物体一边的臂长为,另一边的臂长为,称得物体的重量为，第二次称得物体的重量为b，用小王的方法所得的结果为2baG②探求真实重量GalGl21Glbl21两式相除得abG2则abG思考：abba与2的大小关系怎样？即abba2与的大小关系怎样？考虑到刚刚证明的不等式，用ba,去替换222abab中的a，b,即得abba2，即abba21）从几何图形的面积关系认识基本不等式abba22）证明基本不等式abba2问题2：你能证明基本不等式吗？abba2用作差法证明：仿照222abab证法。结论：号）时取当且仅当那么如果(2,0,0baabbaba说明：在数学中，我们称2ba为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.那么基本不等式可用文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3）理解基本不等式abba2的几何意义探究：课本第98页的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。问题3:你能利用右图得出基本不等式abba2的几何解释吗？根据直角三角形中的射影定理，可得CD2＝CA·CB，即CD＝ab．这个圆的半径为2ba，显然，它大于或等于CD，即abba2，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式abba2几何意义是“半径不小于半弦”三、例题示范例1（1）把16写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把16写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？结论：积定和最小，和定积最大例2、若,0x求函数xxy1的最小值,并求出此时x的值。变式1：若,0x求函数xxy1的最大值，并求出此时x的值。变式2：已知,3x，求函数31xxy的最小值，并求出此时x的值。已知,10x求函数)1(xxy的最大值，并求出此时x的值。变式3：若x≥3,判断函数的最小值是否为2,为什么？（题后小结：略）四、归纳小结，反思提高提问：①通过本节课的学习，你学到了什么知识？②在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？五、书面作业：1、P100习题3.4：A组12、(1)若xxxfx312)(,0的最____值为_____,此时=______.(2)若xxxfx312)(,0的最____值为_____,此时=______.思考:如果有一根铁丝长16cm，如果让你用它制作一个矩形，应如何操作才能使矩形面积最大?(为下节课设置悬念)六、板书设计：1．重要不等式：2．基本不等式：代数意义：基本不等式几何意义：例1：例2作业：课后思考：七、课后反思：