函数的单调性

函数的单调性一、教学内容解析及学情分析从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从观察图象，用自然语言描述函数图象特征，以函数解析式为依据经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.二、教学目标按照教学大纲的要求，根据教材和学情，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念;②掌握利用函数图象和单调性定义判断函数单调性的方法；2.过程与方法目标：①通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法；②通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；3．情感、态度与价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进学生形成研究氛围和合作意识.②重视知识的形成过程教学，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与收获的乐趣.三、教学重、难点教学重点：增（减）函数概念的形成；教学难点：①形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；②用定义证明函数的单调性.四、教法、学法教法：根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲解和学生探究发现的教学方法.教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力.同时使用多媒体辅助教学以及几何画板的使用，增强动感和直观性，充分发挥其快捷、生动、形象的特点，有助于学生对问题的理解和认识，提高教学效果和教学质量；学法：合作实践、学生展示、小组讨论、发现总结等方法.五、教具准备实物展示台、几何画板、多媒体.六、教学过程：（一）问题情境：在2016年8月10号的里约奥运会上，由陈若琳和刘蕙瑕组成的双人组合获得10米台跳水冠军，展示跳水动图，问题1：跳水运动员的运动轨迹是什么？问题2：从左向右看，图象的变化趋势是什么？函数图象的上升与下降的趋势就反映了函数的单调性.设计意图：把我国运动员获得奥运冠军这件时事作为情境引入，增强学生的民族自豪感，另外根据运动员的运动轨迹曲线很自然地引入函数的单调性这节课，让学生感受数学来自生活.（二）建构定义:1.概念探究阶段第一次认识：（图形语言）观察函数2xy的图象，思考1:从左向右看函数在区间，0上的图象有怎样的变化趋势？（上升？下降？）思考2:怎样描述图象的上升呢？第二次认识：（文字语言）教师几何画板展示，点A在，0上向上运动时，A点坐标的变化.让学生观察到，函数2xy在区间，0上，随着自变量x的增大，函数值y也增大.这是我们从形的角度观察到的，那么怎样用符号和式子描述函数值y随着自变量x的增大而增大呢？第三次认识：（符号语言）首先：将两个“增大”符号化，比较才能出大小，在区间，0上的1x，2x，即当12xx时，)()(21xfxf.在区间D上的1x，2x，即当12xx时，)()(21xfxf.此时一定能保证在区间D上的图象是上升的吗？图象可能会出现哪些情况？需要添加什么条件使得在区间D上的图象是上升的？所以，进一步完善表达：对于区间，0上的任意的两个自变量的值21,xx，当12xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数2)(xxf在区间，0上是增函数.设计意图：通过由图象直观感知自然语言描述数学符号语言描述，即从直观到抽象、特殊到一般、感性到理性的认识过程，学生能够更好的感受数学知识的生成过程．通过一系列的问题逐步引导学生发现1x，2x的任意性，让学生体会数学的严谨性.2.本着从特殊到一般的原则，对于一般函数，我们来定义增函数：设函数)(xf的定义域为I，ID,任意Dxx21,，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是增函数.3.对比增函数的定义，由学生归纳出减函数的定义.设函数)(xf的定义域为I，ID,任意Dxx21,，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说函数)(xf在区间D上是减函数.即减函数图象在区间D内呈下降趋势，当x的值增大时，函数值y减小.设计意图：得出减函数定义，培养学生的类比能力．4.对定义的理解：（1）21,xx的任意性；教师几何画板展示，帮助学生从运动变化的观点理解21,xx的任意性.（2）对21xx的理解：此时)(1xf与)(2xf不等，说明变量不同，函数值不同，所以我们不在一点出讨论函数的单调性，当端点在定义域的范围内，区间可开可闭，当端点不在定义域的范围内，区间是开区间.（3）分析定义中自变量与因变量的变化关系，当21xx时，02121xfxfxx说明了什么？设计意图：定义是数学的核心，通过教师带领学生理解定义，可以提高学生的认识和理解.5.函数的单调性定义如果函数)(xfy在区间D上是增函数或者减函数，那么就说函数)(xfy在区间D上具有单调性，函数的单调性也叫函数的增减性；增函数与减函数也分别叫做单调递增函数，单调递减函数；区间D叫做函数)(xfy的单调区间.所以，函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.探究：函数xy1在定义域上的单调性是怎样的？设计意图：再次让学生体会和理解函数单调性的定义，多个单调增（减）区间用“，”“和”连接，不用“∪”.类型一：根据函数图象写出函数的单调区间例1.下图是定义在[－5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出函数)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，)(xfy是增函数还是减函数。解：)(xfy的单调区间有[－5，－2），[－2，1），[1，3），[3，5].其中)(xfy在[－5，－2）,[1，3）上是减函数；在[－2，1），[3，5）上是增函数.变式1：654321123410864224681012A变式2：876543211210864224681012A变式3：876543211210864224681012A设计意图：通过例1和变式，学生知道可以借助函数图象找出函数的单调区间，并加深对函数单调性概念的理解．类型二：根据函数的单调性定义证明函数的单调性．例2.用函数的单调性定义证明：函数)0(kxky在区间，0上是减函数.证明：设21,xx是),0(上的任意两个实数，且21xx，则21122121)()()(xxxxkxkxkxfxf210xx，得,021xx012xx，由0k于是)()(21xfxf0,即)()(21xfxf所以，函数)0(kxky在，0上是减函数。说明：这两道例题介绍了（1）判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明;（2）证明函数单调性的步骤：①取值，设任意21xx、属于给定区间，并规定大小；○2作差变形)()(21xfxf，变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；○3定号确定)()(21xfxf的正负号；④下结论:由定义得出函数的单调性．即时练习：利用定义证明函数xxy1在10，上是减函数.(四)、课堂练习：1.讨论以下函数的单调性：（1）bkxy（2）)0(2acbxaxy)0(3kxky）（设计意图：让学生体会到有的函数可能在整个定义域上单调，有的函数在定义域的某个区间上单调，函数的单调性是函数的局部性质.3.利用定义证明函数xy在，0上是增函数.（五）、小结1.判定函数单调性的方法：图象法，定义法；2.定义法步骤：取值，作差变形，定号，下结论；3.增（减）函数概念的形成，经历了哪些过程？4.凭借直观的图象，我们能判断函数的单调性，为什么还要用数学符号语言定义增（减）函数呢？在数学中，描述事物运动变化规律的数学模型是——函数，要把握相应事物的变化规律，就需要了解函数的变化规律，通过今天的学习，我们知道函数的变化规律可以用什么来描述呢？（函数的单调性以及函数的其它性质），所以，实际生活中，我们可以用它来分析事物的变化规律.（展示气温变化曲线图，股票走势图，GDP走势图）设计意图：让学生体会数学在生活中有着广泛应用.（六）、课后作业：一、必做题：课本：39PA组1，2；课时九；二、选做题:1.求函数xxy1的单调区间，并用定义证明.2.已知函数)(xfy是定义在区间1,1-上的增函数，且)1()2(xfxf，求x的取值范围.3.已知函数22)(2axxxf在区间6,上是增函数，求实数a的取值范围.