4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式单元测试题(含答案)

4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式单元测试题A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．cos300°＝()．A．－32B．－12C.12D.32解析cos300°＝cos60°＝12.答案C2．若tanα＝2，则2sinα－cosαsinα＋2cosα的值为()．A．0B.34C．1D.54解析2sinα－cosαsinα＋2cosα＝2tanα－1tanα＋2＝2×2－12＋2＝34.答案B3．(2011·济南模拟)若cos(2π－α)＝53且α∈－π2，0，则sin(π－α)＝()．A．－53B．－23C．－13D．±23解析cos(2π－α)＝cosα＝53，又α∈－π2，0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1－532＝－23.∴sin(π－α)＝sinα＝－23.答案B4．(2011·深圳调研)若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值等于()．A．－2B．2C．－2或2D．0解析原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα，由题意知角α的终边在第二、四象限，sinα与cosα的符号相反，所以原式＝0.答案D5．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()．A．－15B．－35C.15D.35解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝25－1＝－35.答案B二、填空题(每小题4分，共12分)6．若sin(π＋α)＝－12，α∈π2，π，则cosα＝________.解析∵sin(π＋α)＝－sinα，∴sinα＝12，又α∈π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－32.答案－327．如果sinα＝15，且α为第二象限角，则sin3π2＋α＝_____________________.解析∵sinα＝15，且α为第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－125＝－265，∴sin3π2＋α＝－cosα＝265.答案2658．(2010·全国)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tanπ4＋2α________.解析∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋32π(k∈Z)，∴4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π(k∈Z)，∴sin2α＞0，而cos2α＝－35，∴sin2α＝45，得tan2α＝－43，∴tanπ4＋2α＝1＋tan2α1－tan2α＝1－431＋43＝－17.答案－17三、解答题(共23分)9．(11分)已知cosπ2＋α＝2sinα－π2.求：sinπ－α＋cosα＋π5cos5π2－α＋3sin7π2－α.解∵cosπ2＋α＝2sinα－π2，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，∴原式＝sinα－cosα5sinα－3cosα＝2cosα－cosα10cosα－3cosα＝17.10．(★)(12分)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．思路分析(思路一)：由已知条件与平方关系联立方程组求解；(思路二)：先求sinα－cosα再与已知条件联立方程组求解．解(1)法一联立方程sinα＋cosα＝15①sin2α＋cos2α＝1②由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，∴sinα＞0，∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.法二∵sinα＋cosα＝15，∴(sinα＋cosα)2＝152，即1＋2sinαcosα＝125，∴2sinαcosα＝－2425，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα－cosα＞0，∴sinα－cosα＝75，由sinα＋cosα＝15，sinα－cosα＝75，得sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.【点评】要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，针对一些综合问题，需要构造方程来解决，在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为()．A．0B．1C．－1D.32解析∵f(cosx)＝cos3x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos180°＝－1.答案C2．(2012·揭阳模拟)若sinθ，cosθ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为()．A．1＋5B．1－5C．1±5D．－1－5解析由题意知：sinθ＋cosθ＝－m2，sinθcosθ＝m4，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴m24＝1＋m2，解得：m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5.答案B二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知sinαcosα＝18，且π4＜α＜π2，则cosα－sinα的值是________．解析(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝34，又∵π4＜α＜π2，sinα＞cosα.∴cosα－sinα＝－32.答案－324．(2011·重庆)已知sinα＝12＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα－π4的值为________．解析依题意得sinα－cosα＝12，又(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，即(sinα＋cosα)2＋122＝2，故(sinα＋cosα)2＝74；又α∈0，π2，因此有sinα＋cosα＝72，所以cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－142.答案－142三、解答题(共22分)5．(10分)化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．解当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α＝sin－α·cos－π－αsinπ＋α·cosα＝－sinα－cosα－sinα·cosα＝－1；当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－α·cosαsinα·cosπ＋α＝sinα·cosαsinα－cosα＝－1.综上，原式＝－1.6．(12分)已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cos2θcosθ－sinθ＝sin2θ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝3＋12，故sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝3＋12.(2)由sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ)2，得1＋m＝3＋122，即m＝32.(3)由sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθ·cosθ＝34得sinθ＝32，cosθ＝12或sinθ＝12，cosθ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π6或θ＝π3.