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第二十一章一元二次方程本章知识结构图设未知数，列方程配方法解方公式法程因式分解法检验21.1一元一次方程1.等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：aχ²+bχ+c=0（a≠0)其中，aχ²是二次项,a是二次项系数；bχ是一次项,b是一次项系数；c是常数项。2.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。21.2解一元一次方程1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。2.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。3.一般地，式子b²-4bc叫做一元二次方程aχ²+bχ+c=0根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△=b²-4bc。3.当△＞0时，方程aχ²+bχ+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当△=0，方程aχ²+bχ+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0，方程aχ²+bχ+c=0(a≠0)无实数根。4.一般地,对于一元二次方程aχ²+bχ+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0,那么方程的两个根为χ=ab24ac-2b√±）（这个公式叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a，b，c的值直接求得方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做公式法。5.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，从而实现降次，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。6.配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0。配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次。实际问题一元二次方程aχ²+bχ+c=0（a≠0)实际问题的答案方程aχ²+bχ+c=0（a≠0)的根Χ=降次第二十二章二次函数本章知识结构图归纳抽象目标22.1二次函数的图象和性质1.一般地，形如y=aχ²+bχ+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中χ是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。2.一般地，抛物线y=aχ²的对称轴是y轴，顶点是原点。当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0时，顶点是抛物线的最高点；对于抛物线y=aχ²，|a|越大，抛物线的开口越小。3.一般地，抛物线y=a（χ-h）²+k与y=aχ²形状相同，位置不同。把抛物线y=aχ²向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（χ-h）²+k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定。抛物线y=a（χ-h）²+k有如下特点；⑴当a0时，开口向上；当a0时，开口向下0；⑵对称轴是χ=h。⑶顶点是（h，k）。4.求二次函数的解析式y=aχ²+bχ+c，求出a，b，c的值。由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式。22.2二次函数与一元二次方程1.一般地，从二次函数y=aχ²+bχ+c的图像可得如下结论。⑴如果抛物线y=aχ²+bχ+c与χ轴有公共点，公共点的横坐标是χ0，那么当χ=χ0时，函数值是0，因此χ=χ0是方程aχ²+bχ+c=0的一个根。⑵二次函数y=aχ²+bχ+c的图象与χ轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程aχ²+bχ+c=0的根有三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。实际问题二次函数y=aχ²+bχ+c利用二次函数的图象和性质求解实际问题的答案图象性质第二十三章旋转本章知识结构图23.1图形的旋转1.在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变成点P’,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。2.旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等。对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。旋转前、后的图形全等。23.2中心对称1.把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。2.两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。3.中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。中心对称的两个图形是全等图形。23.2.2中心对称图形1.把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。2.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点（χ，y）关于原点的对称点为P’(-χ,-y)。中心对称图形中心对称图案设计旋转及其性质平移及其性质轴对称及其性质关于原点对称的点的坐标第二十四章圆本章知识结构图24.1圆的有关性质1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心,线段OA叫作半径。2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。3.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。4.等够重合的两个圆叫做等圆。5.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。6.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。7.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。8.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。24.1.3弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角。2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。3.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。4.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。5.在圆中，除圆心角外，还有一类角，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆周角。6.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。7.同弧或等弧所对的圆周角相等。弧、弦、圆心角之间的关系直线和圆的位置关系同弧上的圆周角和圆心角的关系点和圆的位置关系圆的对称性圆圆的有关性质圆锥的侧面积和全面积扇形面积弧长等分圆周三角形的内切圆切线三角形的外接圆弧长和扇形面积正多边形和圆点、直线和圆的位置关系8.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。9.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。10.圆内接四边形的对角互补。24.2点和圆、直线和圆的位置关系1.若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d,则有:点P在圆外dr；点p在圆上d=r；点p在圆内dr。2.不在同一条直线上的三个点确定一个圆。3.经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。4.外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。5.假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法。24.2.2直线和圆的位置关系1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。24.3正多边形和圆1.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2.外接圆的半径叫做正多边形的半径。3.正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。4.中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。24.4弧长和扇形面积1.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。2.圆心角为n°的扇形的面积为S为：扇形=360πR2n3.把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。第二十五章概率初步本章知识结构图25.1随机事件与概率1.在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。2.一般地,对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。3.一般地，如果在一次试验中，有n中可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=nm。4.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近0。事件发生的可能性越来越小01概率的值不可能事件事件发生的可能性越来越大必然事件5.当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时,P(A)=0。P(A)的范围为：0≤P(A)≤1。25.2用列举法求概率1.用列举法求概率一般地，如果在一次试验中，有n中可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=nm。2.用列表法求概率①当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常用列表法。②列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。3.用树形图求概率当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式,并求出概率的方法。用列举法求概率概率随机事件用频率估计概率(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。(2)在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。25.3用频率估算概率1.在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性,因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。一般地，在大量重复试验中,如果事件A发生的频率nm稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P(A)=p。