高考总复习经典讲义---空间向量及其运算

空间向量及其运算知识点1、向量共线、共面的判定.1、共线:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是_______________.2、共面:如果两个向量a,b(不共线),那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使_______________.答案:p＝xa＋yb.3、不共面:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p＝____________________________,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.知识点2、向量运算律①两向量的数量积已知两个非零向量a,b,则____________________叫做向量a,b的数量积,记作________,即__________________.数量积的坐标运算,若a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则a·b＝____________________.②空间向量数量积的运算律结合律:(λa)·b＝____________;交换律:a·b＝_______;分配律:a·(b＋c)＝_____________.③模、夹角和距离公式设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a|＝a·a＝________________,cos〈a,b〉＝a·b|a||b|＝________________________.若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则|AB→|＝__________________________.题型一直线的方程形式(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量.(2)相等向量:方向______且模______的向量.(3)共线向量定理1.若a＝(2x,1,3),b＝(1,－2y,9),且a∥b,则()A.x＝1,y＝1B.x＝12,y＝－12C.x＝16,y＝－32D.x＝－16,y＝32解:选C,∵a∥b,∴2x1＝1－2y＝39,∴x＝16,y＝－32.2.(2016·青岛月考)如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若A1B1→＝a,A1D1→＝b,A1A→＝c,则下列向量中与B1M→相等的向量是()A.－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC.12a－12b＋cD.－12a－12b＋c解:选A,[B1M→＝B1A1→＋A1A→＋AM→＝－A1B1→＋A1A→＋12AB→＋12AD→＝－a＋c＋12(a＋b)＝－12a＋12b＋c.3.(2016·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°,AB＝3,AD＝4,AA′＝5,则|AC′→|＝________.解:∵AC′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AB→＋AD→＋AA′→,∴|AC′→|2＝AB→2＋AD→2＋AA′→2＋2AB→·AD→＋2AD→·AA′→＋2AA′→·AB→＝32＋42＋52＋2×3×4×cos60°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝97,∴|AC′→|＝97.4.有下列4个命题:①若p＝xa＋yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p＝xa＋yb;③若MP→＝xMA→＋yMB→,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.44.选B,①正确.②中若a、b共线,p与a不共线,则p＝xa＋yb就不成立.③正确.④中若M、A、B共线,点P不在此直线上,则MP→＝xMA→＋yMB→不正确.5.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).5.共面,解:AB→＝(3,4,5),AC→＝(1,2,2),AD→＝(9,14,16),设AD→＝xAB→＋yAC→,即(9,14,16)＝(3x＋y,4x＋2y,5x＋2y).∴x＝2y＝3,从而A、B、C、D四点共面.题型二空间基向量的应用6、已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,Q为OB的中点,若AB＝OC,求证:PM⊥QN.设OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c.∵OM→＝12(OB→＋OC→)＝12(b＋c),ON→＝12(OA→＋OC→)＝12(a＋c),∴PM→＝PO→＋OM→＝－12a＋12(b＋c)＝12(b＋c－a),QN→＝QO→＋ON→＝－12b＋12(a＋c)＝12(a＋c－b).∴PM→·QN→＝14[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝14[c2－(a－b)2]＝14(|OC→|2－|BA→|2)∵|AB→|＝|OC→|,∴PM→·QN→＝0.即PM→⊥QN→,故PM⊥QN.7、如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________.设{AB→,AC→,AD→}为空间一组基底,则AF→＝12AB→＋12AC→,CE→＝12CA→＋12CD→＝12CA→＋12(AD→－AC→)＝－AC→＋12AD→.∴AF→·CE→＝12AB→＋12AC→·－AC→＋12AD→＝－12AB→·AC→－12AC→2＋14AB→·AD→＋14AC→·AD→＝－14AB→2－12AC→2＋18AB→2＋18AC→2＝－12AC→2.又|AF→|＝|CE→|＝32|AC→|,∴|AF→|·|CE→|＝34|AC→|2.∴cos〈AF→,CE→〉＝AF→·CE→|AF→||CE→|＝－12AC→234|AC→|2＝－23.∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为23.8、(2016·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB,∠EBC＝90°,点M、N分别在BD、AE上,且AN＝DM.(1)求证:MN∥平面EBC;(2)求MN长度的最小值.解:如图所示,建立坐标系后,要证MN平行于平面EBC,只要证MN→的横坐标为0即可.(1)证明如图所示,以BA→、BC→、BE→为单位正交基底建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(1,1,0),E(0,0,1),B(0,0,0),设ANAE＝DMDB＝λ,则MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝λBD→＋DA→＋λAE→＝λ(1,1,0)＋(0,－1,0)＋λ(－1,0,1)＝(0,λ－1,λ).∵0λ1,∴λ－1≠0,λ≠0,且MN→的横坐标为0.∴MN→平行于平面yBz,即MN∥平面EBC.(2)解:由(1)知|MN→|＝λ－2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2λ－122＋12,∴当λ＝12时,MN取得长度的最小值为22.A组专项基础训练题组1.下列命题:①若A、B、C、D是空间任意四点,则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0;②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件;③若a、b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面.其中假命题的个数是(C)A.1B.2C.3D.42.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM(A)A.既垂直于AC,又垂直于MNB.垂直于AC,但不垂直于MNC.垂直于MN,但不垂直于ACD.与AC、MN都不垂直3.(2016·绍兴月考)如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB＝BC＝AA1,∠ABC＝90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是(B)A.45°B.60°C.90°D.120°4.设点C(2a＋1,a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1,－3,2)、B(8,－1,4)确定的平面上,则a等于(A)A.16B.4C.2D.8解:选A[由PC→＝λ1PA→＋λ2PB→得:(2a－1,a＋1,2)＝λ1(－1,－3,2)＋λ2(6,－1,4),∴－λ1＋6λ2＝2a－1－3λ1－λ2＝a＋1，2λ1＋4λ2＝2解得a＝16.5.在直角坐标系中,A(－2,3),B(3,－2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为(B)A.2B.211C.32D.42解:过A、B分别作AA1⊥x轴,BB1⊥x轴,垂足分别为A1和B1,则AA1＝3,A1B1＝5,BB1＝2,∵AB→＝AA1→＋A1B1→＋B1B→,∴AB→2＝AA1→2＋A1B1→2＋B1B→2＋2AA1→·B1B→＝32＋52＋22＋2×3×2×cos60°＝44.∴|AB→|＝211.6.(2016·信阳模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若EF→＝λ(AB→＋DC→),则λ＝________.解:∵EF→＝EA→＋AB→＋BF→,又EF→＝ED→＋DC→＋CF→,∴2EF→＝AB→＋DC→,∴EF→＝12(AB→＋DC→),∴λ＝12.7.(2016·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(A1D1→－A1A→)－AB→;②(BC→＋BB1→)－D1C1→;③(AD→－AB→)－2DD1→;④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→.其中能够化简为向量BD1→的是________.(填所有正确的序号)解①(A1D1→－A1A→)－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→;②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→;③(AD→－AB→)－2DD1→＝BD→－2DD1→≠BD1→;④(B1D1→＋A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋(A1A→＋DD1→)＝B1D1→≠BD1→.8.(2016·丽水模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB＝2,E为PB的中点,cos〈DP→,AE→〉＝33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.解:设DP＝y0,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,y),E1，1，y2,DP→＝(0,0,y),AE→＝－1，1，y2.∴cos〈DP→,AE→〉＝DP→·AE→|DP→||AE→|＝12y2y2＋y24＝y8＋y2＝33.解得y＝2,∴E(1,1,1).B组专项能力提升题组9.如图所示,已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE＝FC1＝1.(1)求证:E、B、F、D1四点共面;(2)若点G在BC上,BG＝23,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则BE→＝(3,0,1),BF→＝(0,3,2),BD1→＝(3,3,3).所以BD1→＝BE→＋BF→.故BD1→、BE→、BF→共面.又它们有公共点B,∴E、B、F、D1四点共面.(6分)(2)设M(0,0,z),则GM→＝0，－23，z.而BF→＝(0,3,2),由题设,得GM→·BF→＝－23×3＋z·2＝0,得z＝1.∴M(0,0,1),E(3,0,1),∴ME→＝(3,0,0).又BB1→＝(0,0,3),BC→＝(0,3,0),∴ME→·BB1→＝0,∴ME→·BC→＝0,从而ME⊥BB1,ME⊥BC.又∵BB1∩BC＝B,∴ME⊥平面BCC1B1.10、如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB＝2,AF＝1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥面BDF.证:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD＝N,连接NE.则点N、E的坐标分别为22，22，0、(0,0,1).∴NE→＝－22，－22，1.又点A、M的坐标分别为(2,2,0)、22，22，1,∴AM→＝－22，－22，1.∴NE→＝AM→且NE