线性代数(高起专)答案

离线考核《线性代数（高起专）》满分100分一、计算及证明题（每小题20分，共100分。）1.设向量组321,,是线性无关的，且3211，32122，321332，证明：向量组321,,也是线性无关的。证明：设okkk332211，则有okkk321332123211322整理，得okkkkkkkkk332123211321322因为321,,线性无关，所以032020321321321kkkkkkkkk该齐次线性方程组只有零解，即0321kkk，所以321,,线性无关。2.对于任一矩阵A，证明：TAA及AAT都是对称矩阵。证明：因为TTTTTTAAAAAAAAAAAATTTTTT所以TAA及AAT都是对称矩阵。3.用基础解系表示线性方程组337713343424313214314321xxxxxxxxxxxxx的全部解。解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换，有0000061000802103010133707101133110143412bA所以方程组有无穷多解，其一般解为628343231xxxxx令03x，得特解Tu6,0,8,3，其导出组的一般解为0243231xxxxx令13x，得Tv0,1,2,1，则原方程组的全部解为cvu，c为任意常数。4.给定向量组00111，11212，11103，12314，14625，求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大无关组；(3)将其余向量用极大无关组线性表示。解：0000023211002523010212100111110421106312121011，则向量组的秩为3，1，2，3为极大无关组，3214212321，3215232521。5.给定矩阵A201021113，如果A能与对角矩阵相似，请求出相似对角矩阵及可逆矩阵P。解：0421201021113AI，所以A的全部特征值为11，22，43对于11，解齐次线性方程组oxAI，其基础解系为T1,1,11。对于22，解齐次线性方程组oxAI2，其基础解系为T1,1,02。对于43，解齐次线性方程组oxAI，其基础解系为T1,1,23。111111201,,321P，满足4000200011APP，