2019年第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程精品物理

第二章圆锥曲线与方程2．3抛物线2．3.1抛物线及其标准方程[学习目标]1.通过画抛物线的过程理解抛物线的定义(重点)．2.掌握抛物线的标准方程的四种形式，能由抛物线的方程求抛物线的焦点坐标与准线方程(重点)．3.能够运用待定系数法及几何条件求抛物线的标准方程，能够解决简单的实际问题(重点、难点)．4.通过推导抛物线的标准方程，进一步掌握求曲线方程的方法，培养观察、类比、分析、计算的能力(难点)．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．温馨提示定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p＞0)_______________p2，0x＝－p2y2＝－2px(p＞0)______________x2＝2py(p＞0)_______________x2＝－2py(p＞0)_______________－p2，00，p20，－p2x＝p2y＝－p2y＝p21．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)抛物y2＝4x的焦点到准线的距离是4.()(3)方程y＝x2表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是14，0，准线方程是x＝－14.()(4)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．()解析：(1)当定点不在定直线上时才表示抛物线，错误．(2)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是2而非4，错误．(3)方程y＝x2表示曲线是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14，准线方程是y＝－14，错误．(4)抛物线的方程也可以是x关于y的二次函数，错误．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．抛物线y＝4x2的焦点坐标是()A．(0，1)B．(1，0)C.0，116D.116，0解析：由y＝4x2得x2＝14y，所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p＝14，所以p＝18，所以焦点为0，116.答案：C3．抛物线y＝14x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2解析：因为y＝14x2，所以x2＝4y，所以所求的准线方程为y＝－1.答案：A4．以双曲线x24－y25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为________________．解析：易知双曲线的右焦点为(3，0)，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则p2＝3，得p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x.答案：y2＝12x5．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线的焦点的距离为________．解析：由已知得抛物线的准线方程为y＝－1，所以点A到准线的距离为5，由抛物线的定义知，点A与焦点的距离也是5.答案：5类型1求抛物线的焦点坐标及准线方程(自主研析)[典例❶]求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x(a≠0)．解：(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，2p＝－6，p＝－3，p2＝－32，所以焦点坐标为－32，0，准线方程为x＝32.(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－53y，知抛物线开口向下，2p＝－53，p＝－56，p2＝－512，所以焦点坐标为0，－512，准线方程为y＝512.(3)将y＝4x2化为x2＝14y，知抛物线开口向上，2p＝14，p＝18，p2＝116，所以焦点坐标为0，116，准线方程为y＝－116.(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，2p＝a2，p＝a22，p2＝a24，所以焦点坐标为a24，0，准线方程为x＝－a24.归纳升华1．求抛物线的焦点坐标和准线方程时，首先应把所给方程化成标准形式，然后确定开口方向，求出p的值，进而写出焦点坐标和准线方程．2．如果抛物线方程中含参数，要先将其化成标准方程，然后对参数进行分类讨论．[变式训练]设抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与标准方程．解：抛物线方程y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay，若a＞0，则2p＝1a，解得p＝12a，p2＝14a，所以焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a，若a＜0，则2p＝－1a，p2＝－14a.所以焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.综上，抛物线的焦点坐标是0，14a，准线方程是y＝－14a.类型2求抛物线的标准方程(互动探究)[典例2](1)若抛物线y2＝2px(p0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则抛物线的标准方程为________．(2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是________．解析：(1)抛物线y2＝2px(p0)的准线方程为x＝－p2(p0)，故直线x＝－p2过双曲线x2－y2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p＝22.故抛物线的标准方程为y2＝42x.(2)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，因为点M(2，y0)到抛物线焦点F的距离为3，所以2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x.答案：(1)y2＝42x(2)y2＝4x[迁移探究1](改变问法)典例(2)中的条件不变，试求点M到原点的距离．解：因为抛物线方程为y2＝4x，所以M的坐标为(2，±22)，所以M到原点的距离为23.[迁移探究2](变换条件)典例(2)条件改为“抛物线关于y轴对称”，求抛物线的方程．解：当焦点在y轴正半轴时，设方程为x2＝2py(p＞0)，则由题意可得y0＋p2＝3，22＝2py0，解得p＝3±5，所以抛物线方程为x2＝2(3±5)y，当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由题意可得－y0＋p2＝3，22＝－2py0，解得p＝3±5，所以抛物线方程为x2＝－2(3±5)y.归纳升华1．利用待定系数法求抛物线的标准方程的步骤：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型．(2)求参数p的值．(3)确定抛物线的标准方程．2．当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．类型3抛物线定义的应用[典例3](1)若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10.则点M的坐标为______________________．(2)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．解析：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F－p2，0.准线方程为x＝p2.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．答案：(－9，6)或(－9，－6)(2)解：如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．所以(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝3＋12＝72.此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，所以P点坐标为(2，2)．归纳升华抛物线定义的两种应用1．实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．2．解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题．[变式训练](1)若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值．(2)若位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12，求点M的轨迹方程．解：(1)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝0－122＋（2－0）2＝172.(2)由位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到F12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p0)的形式，而p2＝12，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．1．定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．2．标准方程中有一个参数p，求抛物线的标准方程，只需求出p的值即可，常用待定系数法．(1)用待定系数法求抛物线标准方程时，先确定焦点位置与开口方向，如果开口方向不确定时，可设所求抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，或者x2＝ay(a≠0)．(2)当抛物线不在标准位置时，用定义来求抛物线的方程．3．求最值问题：应用数形结合思想，利用抛物线的定义转化为几何问题求解．