双曲线及其标准方程教学设计

双曲线及其标准方程（教学设计）一、教学目标：知识与技能：（1）理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义，掌握双曲线的标准方程．（2）根据不同的题设条件，正确区分两种不同的标准方程．过程与方法：（1）引导学生，通过与椭圆的对比去探索双曲线标准方程的推导，加深对数形结合思想及事物类比的研究方法的认识．（2）从建立坐标系、简化方程过程中，培养学生观察、分析、推理的能力．情感态度与价值观：（1）培养学生勇于探索，善于研究的精神．（2）通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学氛围．二、重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程的推导难点：（1）理解ca22，ca22，及双曲线左、右支等不同的轨迹情形；（2）令222acb的思维过程，及焦点分别在x轴y轴上的标准方程形式．三、教学设计（一）情境设置1、荆门市火力发电厂通风塔图片和演示截面图2、初中代数中反比例函数的图象．那么，双曲线是怎样形成的？（二）、探索定义1、模拟实验：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的一边取其端点，在另一边中间部分取一点，分别固定在F1、F2两点处，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或合拢，笔尖就画出一条曲线．（演示模拟实验）2、分析问题：（1）动点M与定点F1、F2的距离之差保持怎样的关系？（2）这个常数与|F1F2|大小关系？（3）|MF1|与|MF2|大小关系与M点的位置有何关系?3、定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．①定点F1、F2——焦点．②距离|F1F2|=2c——焦距思考题：由定义知||MF1|－|MF2||=2a(2a0),2c=|F1F2|若2a2c，点M的轨迹是什么？符合双曲线的定义，应是双曲线若2a=2c，点M的轨迹是什么？以F1、F2为端点的两条射线若2a2c，点M的轨迹是什么？由模拟实验讨论，轨迹不存在（三）探求方程1、双曲线方程的推导解：①建系设点以F1、F2所在直线为x轴，它们的中点为坐标原点，建立直角坐标系.设点M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)，②写出轨迹上动点M的适合条件由定义可知M点满足aMFMF221③列出方程aycxycx2)()(2222④化简方程移项2222)(2)(ycxaycx平方222222))(2())((ycxaycx整理得222)(ycxaacx，即)()(22222222acayaxac由双曲线定义可知2ac2,即ac,022ac设22ac=2b，方程整理得0,012222babyax这是焦点在x轴上的双曲线的标准方程，其中)0,(),0,(21cFcF，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为)0,0(12222babxay),0(),,0(21cFcF2、判断下列双曲线方程焦点的位置①13422yx②14322yx③14322xy④13422yx如何判断双曲线焦点在哪个坐标轴上？3、双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较①双曲线标准方程中距离差“-”，有别于椭圆中距离和“+”，②双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,a0，b0；有别于椭圆方程中，c2=a2-b2,ab0③双曲线标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．（四）应用练习例1填空题(1)已知双曲线方程116922yx，则①a=,b=,c=②焦点在轴上，其坐标为，焦距为(2)如果椭圆)0(114222aayx与双曲线12322yx的焦点相同，那么a=例2已知一动圆过定点M（-4，0）且与已知圆C：(x-3)2+y2=4相外切，求动圆圆心P的轨迹方程分析：根据双曲线的定义求解解：设动圆P的半径为r(r0)，圆(x-3)2+y2=4的圆心为C(3,0),半径为2则|PM|=r|PC|=r+2∴|PC|-|PM|=2|MC|=6,又|PC||PM|∴P点的轨迹是以M、C为焦点的双曲线的左支则c=3,a=1,b2=c2-a2=8∴P点的轨迹方程为1822yx(x0)（五）归纳小结1、椭圆与双曲线联系与区别椭圆双曲线定义aMFMF221aMFMF221图形标准方程12222byax0ba12222bxay0ba12222byax0,0ba12222bxay0,0ba焦点坐标0,cFcF,00,cFcF,0焦点位置与标准方程的关系比较分母大小若x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；若y2项的系数是正的，焦点在y轴上a、b、c关系c2=a2-b2c2=a2+b22、布置作业P108习题8.31、3、4双曲线及其标准方程（课堂实录）（课前1分钟，播放片头，包括各种物体及音乐）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，并研究了这一圆锥曲线的几何性质．在刚才的片头中,我们还看到了许多物体，它们的外形是多种形式的优美曲线．今天我们来研究其中的一种曲线．学生：（兴奋、疑惑、有求知欲）（情境设置．片头中的一幅图片，火力发电厂通风塔）教师：这是荆门市火力发电厂的通风塔，它的截面轮廊线是什么曲线？（演示通风塔截面图）教师：这种曲线我们似曾相识，初中代数中我们学习的反比例函数，它的图象就是这样的曲线．（作出xy1图象）为了使大家观察得更清楚，我们将xy1的图象旋转45°．（旋转后又重新建立新的坐标系给出图象）教师：（适时提出）它是什么曲线？学生：（回应热烈）双曲线教师：很好（板书）双曲线教师：通风塔的截面轮廓线是双曲线的一部分，物理中双曲线型旋转体的通风效果是最好的．（设计感悟：片头中的图片直观，引起学生对这课堂的兴趣，同时对双曲线有一个感性认识．演示通风塔截面图，从具体到抽象，将实际问题抽象为数学模型，有利于认识事物．xy1旋转后再建系，这样符合建系的原则，又为后面推导双曲线方程中建系埋下一个伏笔．另外还注意了物理知识的渗透．）教师：双曲线是怎样形成的？我们一起来探索一下．（边演示实验，边讲解）教师：先来做一个实验：取一条拉链，拉开它的一部分，（动画1）在拉开的一边上取其端点，在另一边的中间部分取一点，分别固定在F1、F2两点处，使一边比另一边多出|F2N|．（动画2）在拉动的过程中，我们看到点M随之变动，选择拉链的好处是使得|MF1|与|MF2|增加的长度相同，都是蓝色部分．教师：为了显示的更直观，将|MF1|与|MF2|平移放到下面来，再观察一次．（重新演示动画2）教师：我们看到|MF1|与|MF2|增加的长度相同，但是它们的差总保持不变，是这一段红色的部分．教师：（补充）是一个常数教师：（演示动画3）将笔尖放在点M处，随着拉链的逐渐合拢或拉开，笔尖就画出右边的一条曲线．此时|MF1|大于|MF2|，且差保持不变，是一个常数．若F1，F2互换位置，会得到怎样的曲线呢？学生：（思考）教师：（演示动画4）这样又得到了左边的这条曲线，此时|MF1|小于|MF2|，它们的差的绝对值保持不变．教师：想一想，在刚才的实验中，动点M与定点F1、F2的距离之差的绝对值保持怎样的关系？学生1：是一个定值．教师：也就是一个常数，很好．教师：再想一想，这个常数与|F1F2|大小关系怎样？学生2：小于|F1F2|教师：回答得非常好．你是通过哪个几何图形看出的？学生：三角形MF1F2教师：三角形两边之差总小于第三边．教师：接着，我们再想一想，|MF1|与|MF2|大小关系与M点的位置有何关系?学生3：当|MF1|大于|MF2|时，M点在右支；当|MF1|小于|MF2|时，点M在左支．教师：上面左右两支合起来叫做双曲线．（设计感悟：选取拉链实验好处是M点不断运动，但始终满足差的绝对值为常数．跟踪得轨迹是双曲线，这是辩证唯物主义观点的运用，质点运动规律也是可以被学生掌握和应用的．逐个的演示动画1到4，将实验细化，更清楚更直观．）教师：根据模拟实验，以及椭圆的定义，你能否给双曲线下一个定义呢？椭圆的定义是怎样的？师生：平面内与两定点的距离之和为常数的点的轨迹．教师：那么双曲线定义呢？学生4：平面内与两个定点F1F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹叫双曲线．教师：回答得非常好．（板书）定义，用红色字打出“差的绝对值”，“2a2c=|F1F2|”教师：椭圆定义中和为常数，记为2a，双曲线中差的绝对值为常数，我们也记为2a；所不同的是双曲线中常数2a小于|F1F2|，椭圆中常数2a大于|F1F2|；同样这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，记为2c=|F1F2|．教师：双曲线满足动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，用数学表达式表示为——（板书）|MF1|－|MF2||=2a(2a0且2a＜2c=|F1F2|）教师：由定义知道，差的绝对值为常数2a＜2c，能否大于或等于2c呢？我们来讨论一下这三种情况的点的轨迹．问题1、若2a2c，点M的轨迹是什么？学生5：双曲线．教师：符合双曲线的定义．问题2、若2a=2c，点M的轨迹是什么？学生5：是线段教师：若2a=2c，即|MF1|－|MF2||=|F1F2|，M、F1、、F2这三点不构成三角形，这三点共线．刚才他说是线段，M点在哪儿？师生：在F1、F2之间．教师：这样可能吗？不可能．M点在哪儿？哪位同学补充一下？学生6：是射线教师：几条？学生6：两条．问题3、若2a2c，点M的轨迹是什么？学生7：是椭圆教师：椭圆定义中是到两定点的距离“之和”为常数，我们这里是“之差”满不满椭圆定义？师生：不满足．教师：不是椭圆，教师：当2a2c时，M、F1、F2这三点构成三角形；当2a=2c时，这三点共线；当2a2c时，既不构成三角形，又不共线．那么——师生：轨迹不存在（设计感悟：三个问题的设计，使学生对双曲线定义中2a与2c的关系，更进一步理解．）教师：复杂的曲线可以通过建立适当的坐标系得到简单对称的曲线方程，如椭圆的标准方程12222byax0ba，那么双曲线方程如何？教师：我们用求曲线方程的一般步骤，类比于椭圆的标准方程推导过程，共同来推导双曲线的方程．第一步是——师生：建系设点教师：你准备如何建系？学生8：以F1、F2它们的中点为坐标原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系.设点M（x,y）是双曲线上任一点，F1(-c,0)，F2(c,0)，教师：这样建系设点不仅满足双曲线的对称性，而且还使得所设未知数、参数尽可能少且具有直观性．很好．教师：第二步写出几何条件aMFMF221，第三步根据几何条件，以及两点间的距离公式列出方程aycxycx2)()(2222，第四步化简方程．请同学们类比于椭圆方程推导过程来完成（学生积极思考，认真演算）教师：（在学生讨论过程中）对于这个方程的化简，主要任务是去掉什么？学生：去根号学生9：先移项，再平方教师：含两个根式时，将一个移项，再平方学生9：再一次平方得：)()(22222222acayaxac教师：很好．在椭圆方程简化中我们也遇到了类似的一个方程，我们是怎么处理？师生：设字母b教师：我们引入一个字母b(b＞0),使b2=a2–c2，因为椭圆中a大于c．我们能否也引入一个量，哪位同学出出主意？学生10：设22ac=2b教师：双曲线中a与c关系？学生10：c大于a教师：这个方法很可行，因为22ac是一个正数，所以令22ac=2b此时即可化简，结果是——师生：12222byax教师：这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线焦点在X轴上，其中)0,(),0,(21cFcF，（板书）标准方程，焦点在x轴上)0,0(12222babxay教师：如果我们以F1F2所在的直线为y轴，即焦点在y轴上，它的标准方程怎样？学生：12222bxay教师：与椭圆中类似，由坐