概率论与数理统计习题3详解概要

一、第三章习题详解：3.1设二维随机向量(,)XY的分布函数为:1222,0,0,(,)0,xyxyxyFxy其他求12,35PXY.解：因为257(2,5)1222F，6512221)5,1(F5322221)3,2(F，4312221)3,1(F所以)3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(FFFFYXP7654733222221283.2盒中装有3个黑球,2个白球.现从中任取4个球,用X表示取到的黑球的个数,用Y表示取到的白球的个数,求(X,Y)的概率分布.解：因为X+Y=4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且0)1,2(YXP，6.053)2,2(452223CCCYXP4.052)1,3(451233CCCYXP，0)2,3(YXP故(X,Y)的概率分布为X\Y12200.630.403.3将一枚均匀的硬币抛掷3次,用X表示在3次中出现正面的次数,用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解：因为|32||)3(|XXXY，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)且81)21()3,0(3YXP，83)21()21()1,1(2113CYXP83)21()21()1,2(1223CYXP，81)21()3,3(3YXP故(X,Y)的概率分布为X\Y13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,axyxyfxy其他(1)确定常数a;(2)求0.5,1.5PXY(3)求{(,)}PXYD,这里D是由0,0,1xyxy这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdyyxadxdyyxf1020)6(),(dxxxadxyxa102210202])4()6[(2])6(21[adxxa9)5(210由1),(dxdyyxf，得9a=1，故a=1/9.(2)dxdyyxYXP5.005.10)6(91)5.1,5.0(dxxdxyyx5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91125)687(5.00dxx(3)11001{(,)}(,)(6)9xDPXYDfxydxdydxxydy278)1211(181]21)6([9110210102dxxxdxyyxx3.5设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,xyexyfxy其他(1)求分布函数(,)Fxy;(2)求PYX解：(1)求分布函数(,)Fxy;当0,0xy，(2)220000(,)(,)22(1)(1)yxyxxyuvuvxyFxyfuvdudvedudveduedvee其他情形，由于(,)fxy=0，显然有(,)Fxy=0。综合起来，有2(1)(1),0,0,(,)0,xyeexyFxy其他(2)求PYX(2)200330{}2211033xyyxyyyyPXYdyedxedyedxedye3.6向一个无限平面靶射击,设命中点(,)XY的概率密度函数为2221(,),,,(1)fxyxyxy求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a的概率.解：drrrddxdyyxaYXPaayx20022222222)1()1(1)(222222021111]11[2112aaara3.7设二维随机向量(,)XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.X\Y02510.150.250.3530.050.180.02解：因为75.035.025.015.0)1(XP25.002.018.005.0)3(XP所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为20.005.015.0)0(YP43.018.025.0)2(YP37.002.035.0)5(YP所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xyxyfxy其他求边缘概率密度(),()XYfxfy.解：因为，当20x时，22123),()(103102xxydyxydyyxfxfX；其他情形，显然()0.Xfx所以，X的边缘分布密度为其他0202/)(xxxfX又因为，当10y时，2202220234323),()(yyxdxxydxyxfyfY其他情形，显然()0.Yfy所以，Y的边缘分布密度为其他0103)(2yyyfY3.9设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxfxy其他求边缘概率密度(),()XYfxfy.解，积分区域显然为三角形区域，当01x时，0yx，因此2200()(,)4.8(2)2.4(2)2.4(2)xxXfxfxydyyxdyxyxx；其他情形，显然()0.Xfx所以，X的边缘分布密度为22.4(2)01()0Xxxxfx其他同理，当01y时，1,yx因此1122()(,)4.8(2)2.4(4)2.4(34)Yyyfyfxydxyxdxyxxyyy其他情形，显然()0.Yfy所以，Y的边缘分布密度为22.4(34)01()0Yyyyyfy其他3.10设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为2,,(,)0,cxyxfxy其他(1)确定常数c的值.(2)求边缘概率密度(),()XYfxfy.解：(1)因为dycdxdxdyyxfxx102),(16)32()(1032102cxxcdxxxc所以c=6.(2)因为，当10x时，)(6),()(22xxdycdyyxfxfxxX所以，X的边缘分布密度为其他010)(6)(2xxxxfX又因为，当10y时，)(66),()(yydxdxyxfyfyyY所以，Y的边缘分布密度为其他010)(6)(yyyyfY3.11求习题3.7中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为5175.015.0)1|0(XYP3175.025.0)1|2(XYP15775.035.0)1|2(XYP即Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为5125.005.0)3|0(XYP251825.018.0)3|2(XYP25225.002.0)1|2(XYP即Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时，X的条件分布为4320.015.0)0|1(YXP4120.005.0)0|3(YXP即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为581.043.025.0)2|1(YXP419.043.018.0)2|3(YXP即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为946.037.035.0)5|1(YXP054.037.002.0)5|3(YXP即X13P0.9460.0543.12设X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度函数.解：因为其他0101)(xxfX，其他0111)|(|yxxxyfXY所以(X,Y)的联合密度为其他01,1011)|()(),(|yxxxxyfxfyxfXYX于是yydxxdxyxfyfyY11ln)1ln(11),()(0)10(y故Y的密度函数为其他01011ln)(yyyfY3.13设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为2,01,02,(,)30,xyxxyfxy其他求条件概率密度(),XYfxy(),YXfyx以及11{}22PYX.解：因为，当10x时，xxdyxyxdyyxfxfX322)3(),()(2202又当20y时，631)3(),()(102ydxxyxdxyxfyfY所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为其他010226)(),()|(2|xyxyxyfyxfyxfYYX在X=x的条件下Y的条件概率密度为其他020263)(),()|(|yxyxxfyxfxyfXXYdyydyyfXYPXY210210|523)21|()21|21(407401203)10103(2102yy3.14问习题3.7中的X与Y是否相互独立？解:由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37{1}PX0.75,{2}0.43PY,而{1,2}0.25PXY,显然{1}PX{2}PY{1,2}0.25PXY,从而X与Y不相互独立.3.15设二维随机向量(,)XY的概率分布如下表所示,求X和Y的边缘概率分布.X\Y02510.150.250.3530.050.180.02问,ab取何值时,X与Y相互独立?解：因为311819161)1(XP，aYP91)2(要X和Y相互独立，则)2()1()2,1(YPXPYXP即)91(3191a，得929131a由(1)(2)1PXPX，得12(2)1(1)133PXPX即3231ba，得913132ab3.16问习题3.8和习题3.9中的X与Y是否相互独立？解：由习题3.8，二维随机向量(,)XY的概率密度函数为23,02,01,(,)20,xyxyfxy其他X的边缘分布密度为其他0202/)(xxxfX，Y的边缘分布密度为其他0103)(2yyyfY，显然有(,)()()XYfxyfxfy，X与Y相互独立.由习题3.9,维随机向量(,)XY的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,yxxyxfxy其他,X的边缘分布密度为22.4(2)01()0Xxxxfx其他，Y的边缘分布密度为22.4(34)01()0Yyyyyfy其他,显然有(,)()()XYfxyfxfy，X与Y不独立.3.17设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为21,0,0,(1)(,)0,xxexyyfxy其他,问X与Y是否相互独立?解：因为dyyxedyyxfxfxX02)1(1),()()0()11(0xxeyxexxdxyxedxyxfyfxY02)