考研数学三必背知识点：概率论与数理统计

1概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBABAAB结合律CBACBACBA)()(ABCBCACAB)()(分配律ACABCBA)())(()(CABABCA德摩根律BABABAAB2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式)(1)(APAP加法公式)()()()(ABPBPAPBAP条件概率公式)()()(APABPABP乘法公式)()()(ABPAPABP)()()(BAPBPABP全概率公式niiiABPAPBP1)()()(贝叶斯公式（逆概率公式）1)()()()()(iijjjjABPAPABPAPBAP伯努力概型公式nkppCkPknkknn,1,0,)1()(两件事件相互独立相应公式)()()(BPAPABP；)()(BPABP；)()(ABPABP；1)()(ABPABP；1)()(ABPABP2二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(bFbXP)()()(aFbFbXaP2、离散型随机变量分布名称分布律0–1分布),1(pB1,0,)1()(1kppkXPkk二项分布),(pnBnkppCkXPknkkn,,1,0,)1()(泊松分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk几何分布)(pG,2,1,0,)1()(1kppkXPk超几何分布),,(nMNH),min(,,1,,)(MnllkCCCkXPnNknMNkM3..连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(baU其他,0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxF,1,,0)(指数分布)(E其他,00,)(xexfx0,10,0)(xexxFx正态分布),(2Nxexfx222)(21)(xttexFd21)(222)(标准正态分布)1,0(Nxexx2221)(xttexFd21)(222)(3三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布jjijjiiipyYxXPxXPp),()(iiijjijjpyYxXPyYPp),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(iPpyYPyYxXPyYxXPpjijjjijiji2,1,)(),()(jPpxXPyYxXPxXyYPpiijijiijij3、连续型二维随机变量(X,Y)的分布函数xydvduvufyxF),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xXdvduvufxF),()(密度函数：dvvxfxfX),()(yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(5、二维随机变量的条件分布yxfyxfxyfXXY,)(),()(xyfyxfyxfYYX,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：1)(kkkpxXE连续型随机变量：dxxxfXE)()(2、数学期望的性质(1)为常数C,)(CCE)()]([XEXEE)()(XCECXE(2))()()(YEXEYXEbXaEbaXE)()()()()(1111nnnnXECXECXCXCE(3)若XY相互独立则：)()()(YEXEXYE(4))()()]([222YEXEXYE3、方差：)()()(22XEXEXD4、方差的性质(1)0)(CD0)]([XDD)()(2XDabaXD2)()(CXEXD(2)),(2)()()(YXCovYDXDYXD若XY相互独立则：)()()(YDXDYXD5、协方差：)()(),(),(YEXEYXEYXCov若XY相互独立则：0),(YXCov6、相关系数：)()(),(),(YDXDYXCovYXXY若XY相互独立则：0XY即XY不相关47、协方差和相关系数的性质(1))(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov(2)),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCov8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1分布),1(pBp)1(pp二行分布),(pnBnp)1(pnp泊松分布)(P几何分布)(pGp121pp超几何分布),,(nMNHNMn1)1(NmNNMNMn均匀分布),(baU2ba12)(2ab正态分布),(2N2指数分布)(E121五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2XDXE对于任意0有2)(})({XDXEXP或2)(1})({XDXEXP2、大数定律：若nXX1相互独立且n时，niiDniiXEnXn11)(11(1)若nXX1相互独立，2)(,)(iiiiXDXE且Mi2则：niiPniinXEnXn11)(),(11(2)若nXX1相互独立同分布，且iiXE)(则当n时：PniiXn113、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，当n充分大时有：)1,0(~1NnnXYnkkn5(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(pnBnn则对任意x有：xtnxxdtexpnpnpP)(21})1({lim22(3)近似计算：)()()()(11nnannbnnbnnXnnaPbXaPnkknkk六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数)(xF样本),(21nXXX的联合分布为)(),(121knknxFxxxF2、统计量(1)样本平均值：niiXnX11(2)样本方差：niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11(3)样本标准差：niiXXnS12)(11(4)样本k阶原点距：2,1,11kXnAnikik(5)样本k阶中心距：nikikkkXXnMB13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21nXXX的观察值),(21nxxx，将nxxx21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(nxxx，记取值为)(ix的样本分量为)(iX，则称)()2()1(nXXX为样本),(21nXXX的次序统计量。),min(21)1(nXXXX为最小次序统计量；),max(21)(nnXXXX为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量nXXX21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N，则随机变量222212nXXX所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(~22n性质：①nnDnnE2)]([,)]([22②设)(~),(~22nYmX且相互独立，则)(~2nmYX(2)t分布：设随机变量)(~),1,0(~2nYNX，且X与Y独立，则随机变量：nYXT所服从的分布称为自由度的n的t分布，记为)(~ntT性质：①)2(,2)]([,0)]([nnnntDntE②222)(21)1,0()(limxneNnt6(3)F分布：设随机变量)(~),(~2212nVnU，且U与V独立，则随机变量2121),(nVnUnnF所服从的分布称为自由度),(21nn的F分布，记为),(~21nnFF性质：设),(~nmFX，则),(~1mnFX七、参数估计1、参数估计(1)定义：用),,(21nXXX估计总体参数，称),,(21nXXX为的估计量，相应的),,(21nXXX为总体的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）离散型样本均值：niiXnXEX11)(连续型样本均值：dxxxfXEX),()(离散型参数：niiXnXE1221)(3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：nXXX,,21取自X的样本，设)]()()[,(~PXXPxfXi或则可得到概率密度：])()(),,([),(),,,(1121121niiniinnniinPxXPxXXXXPxfxxxf或基本步骤：①似然函数：])([),()(11niiniiPxfL或②取对数：niiXfL1),(lnln③解方程：0ln,,0ln1kLL最后得：),,(,),,,(212111nkknxxxxxx