几种各向同性屈服准则的比较分析

收稿日期:20140323基金项目:山西省自然科学基金资助项目(2013011005-4)作者简介:李忱(1959—),男,博士,教授,E-mail:[e-mail].第34卷增刊12014年7月北京理工大学学报TransactionsofBeijingInstituteofTechnologyVol.34Suppl.1Jul.2014几种各向同性屈服准则的比较分析李忱1,赵丽2(1.太原科技大学应用科学学院,山西,太原030024;2.山西煤炭管理干部学院,山西,太原030006)摘要:为对新屈服准则进行深入研究,本文比较并分析了H.Tresca和Von.Mises屈服准则,M-C和D-P屈服准则,双剪和三剪屈服准则的发展及应用,重点介绍了以上不同类型屈服准则的基础理论,并对比了其几何意义、适用性以及实验验证结果;最后指出,对于今后屈服准则的研究可考虑从完善传统屈服准则屈服面不封闭以及重视相应的实验验证两方面来深入进行.关键词:屈服准则;适用性;几何意义;屈服面;实验验证中图分类号:TB125文献标志码:A文章编号:1001-0645(2014)增刊1-0067-04ComparisonandAnalysisofSeveralPlasticYieldCriteriaLIChen1,ZHAOLi2(1.SchoolofAppliedScience,TaiyuanUniversityofScienceandTechnology,Taiyuan,Shanxi030024,China;2.ShanxiCoalMiningAdministratorsCollege,Taiyuan,Shanxi030006,China)Abstract:Inthispaper,thedevelopmentandapplicationcriteriaofH.TrescaandVon.Misesyield,M-CandD-Pyieldandtwin-shearandtriple-shearyieldwerefirstcomprehensivelycomparedandanalyzedwithfocusesontheirbasictheories,geometricmeanings,applicabilityandverification.Thenewyieldcriteriawereputforwardtoimprovetheimperforationoftheyieldsurfaceofthetraditionalyieldcriteriaandtheapplicabilityofnewcriteriawasfurtherexperimentallyvalidated.Keywords:yieldcriteria;applicability;geometricmeaning;yieldsurface;experimentalvalida-tion材料在一定的变形条件下,当各应力分量之间满足一定关系时,质点才开始进入塑性状态,应力分量的这种关系称为屈服准则.屈服准则与材料及所受应力状态有关,是求解塑性成形问题必要的补充方程,针对各种不同的材料结构、工程背景以及破坏机理,应当选取更为合理的屈服准则,能够既满足适用条件又偏于经济、安全.屈服准则的研究一直以来都受到研究学者的广泛关注,也取得了一系列成果,但在当前数学和力学等相关学科的发展条件下,研究一般条件下的材料屈服准则依旧十分困难,因此,目前主要还是研究各向同性和各向异性两种特殊条件下的屈服准则.关于各向异性屈服准则的比较分析已有较为详细的介绍[12],本文就常用的几种各向同性屈服准则即H.Tresa和Ven.Mises屈服准则M-C和D-P屈服准则,双剪和三剪屈服准则的发展、几何意义、适用性等进行比较分析,进一步了解其差异.1几种各向同性屈服准则描述1.1H.Tresca和Von.Mises屈服准则在经典塑性理论中,最常用的是H.Tresca屈服准则和Von.Mises屈服准则,在材料力学中分别称为最大切应力理论和畸变能密度理论,亦即第三、第四强度理论.①H.Tresca屈服准则.1864年Tresca提出了最大剪应力屈服准则,认为当受力物体(质点)中的最大切应力达到某一定值时,该物体就发生屈服.其数学表达式为τmax=σs2=σmax-σmin2=K.(1)式中:σs为材料屈服点应力;K为材料屈服时的最大切应力值,也称剪切屈服强度.如规定σ1≥σ2≥σ3,则有τmax=(σ1-σ3)/2=K,屈服准则表述为σ1-σ3=σs=2K.(2)如果不知主应力的大小,则屈服准则可表示为maxσ1-σ2,σ2-σ3,σ3-σ{}1=2K=σs.(3)对于平面应变及主应力为异号的情形,Tresca准则可写为(σx-σy)2+4τ2xy=σ2s=4K2.(4)②Von.Mises屈服准则.1913年Mises在研究了诸多实验结果后,提出了基于能量理论的Mises屈服准则,认为在一定的变形条件下,当受力物体内一点的应力偏量的第二不变量J2达到某一定值时,该点就进入塑形状态,其数学表达式为J2=K.(5)考虑到第二不变量J2可用应力偏量σ′ij表示,即σ′ij=σij-13δijσkk,J2=12σ′ijσ′ij=16[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2].(6)则用主应力表示屈服准则为(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2=2σ2s=6K2.(7)Mises屈服准则的物理意义为:在一定的变形条件下,当材料的单位体积形状改变的弹性位能(又称弹性形变能)达到某一常数时,材料就屈服.1.2M-C和D-P屈服准则此外,常见的各向同性屈服准则还有莫尔库仑(Mohr-Coulomb)准则(即M-C准则)和德鲁克普拉格(Drucker-Prager)准则(即D-P准则),这两个准则一般用于岩土类材料研究中.①M-C屈服准则.1900年,摩尔(O.Mohr)教授建立了著名的Mohr-Coulomb强度理论,认为材料的破坏发生在材料的某个面上,在该面上的正应力即法向应力σn与剪应力τn满足下列函数关系τn=f(σn).(8)而其破坏包络线是一条顶端为材料单轴抗拉强度的曲线.将Mohr包络线简化为直线方程式,即为Mohr-Coulomb准则,其表达式为F=σtanφ+τ-c,(9)式中:τ为最大剪应力;σ为作用在同一面上的正应力;c为材料的粘聚力;φ为材料的内摩擦角.引入应力洛德角参数θσ,M-C屈服准则可表示为F=13I1sinφ+(cosθσ-13sinθσsinφ)J2-ccosφ=0(-π/6≤θσ≤π/6).(10)②D-P屈服准则.1952年,Drucker和Prager在平面应变的条件下推导了M-C准则,得到在π平面上内切M-C准则不等边六边形的圆面,这就是最早出现的D-P系列屈服准则,它是三向应力状态M-C准则的下限[3].该模型在Mises强度准则的基础上考虑平均应力p或I1,而将Mises准则推广成为以下形式αφI1+J2=k.(11)式中:αφ是与内摩擦角φ有关的材料参数;I1为应力张量的第一不变量.如果不考虑静水应力的影响,令I1=0,于是D-P准则成为Mises屈服准则,所以D-P准则是考虑静水压力影响的Mises准则的推广.作为对M-C准则的不同改进,当αφ、k取值不同时,就可以得到不同的D-P型屈服准则[4].不同的D-P型屈服准则下的破坏形式相同,而塑性区域不同;内切圆锥屈服准则下的强度储备安全系数最小,扩展锥屈服准则下的强度储备安全系数最大.1.3双剪和三剪屈服准则M-C准则也可以表述为当最不利截面上的正应力和剪应力组合达到极限值时材料开始屈服,俞茂宏称其为单剪强度理论,并于1961年提出了满足Drucker公设屈服面外凸性条件的双剪应力屈服准则,认为材料的屈服决定于两个较大的主剪应力,即最大剪应力τ13及中间主剪应力τ12或τ23,其数学表86北京理工大学学报第34卷达式为f=τ13+τ12=σ1-12(σ2+σ3)=Cτ12≥τ23f′=τ13+τ23=12(σ1+σ2)-σ3=Cτ12τìîíïïïï23.(12)按照双剪应力准则,进一步考虑静水应力和SD效应对材料破坏的影响,提出了广义双剪应力强度理论[5],在此之后,采用相类似的方法,同时考虑所有3个主剪应力对材料屈服的共同作用,认为这三者的组合达到某一极值时,材料即出现屈服,提出了三剪应力统一屈服准则[6],其表达式为τ13+b1τ12+b2τ23=C.(13)它能更大限度地发挥材料的强度潜力,该屈服准则比单剪和双剪屈服准则更具有一般性.它还可以考虑单元体上所作用的全部剪应力的不同组合,从而构成外凸和非凸两大族屈服面.2屈服准则比较2.1几何意义屈服准则的数学表达式在主应力空间中的几何图形是一个空间曲面,一般是以静水应力轴(σ1=σ2=σ3)为轴线或对称轴的曲面.Tresca、Mises、M-C和D-P准则在主应力空间及π平面上的屈服面、屈服线比较见表1.表1屈服准则的屈服面及屈服线比较Tab.1Yieldsurfacesandcurvesofdifferentyieldcriterions屈服准则主应力空间中的屈服面π平面上的屈服线Tresca无限长的正六棱柱面正六边形Mises外接于Tresca的圆柱面圆M-C不规则的角锥体表面不规则的六角形截面D-P圆锥面M-C的内切或外接圆广义双剪应力强度理论在三维主应力空间中的极限面是一个以静水应力轴为轴线的半无限的不等边六锥面,其形状和大小与材料拉伸和压缩强度极限有关,当材料的拉压强度极限相等时,广义双剪应力强度理论的极限面成为双剪应力屈服准则的六边棱柱面;三剪屈服准则与双剪统一屈服准则一样,表示一个强度准则系列[7],b=0(b=b1+b2)时π平面极限线的形状为正六边形,对应Tresca屈服准则,b=1/3时π平面极限线的形状为圆形,对应Mises屈服准则;b介于0和1/3之间为一些新的屈服准则,π平面的极限线介于上述两者之间.2.2适用性及实验验证结果比较Tresca和Mises屈服准则是材料屈服判据中的经典理论基础,Tresca屈服准则基于材料单剪破坏时的准则,没有考虑材料的实际三剪状态,只考虑了材料内一点应力状态下的最大剪应力,忽略了中间主应力σ2的影响,实践表明,在复杂应力状态下,中间应力σ2的影响将导致10%~15%的误差,而对于拉压不对称材料,该影响则更为严重.显然,该理论不能充分符合实际情况,但由于Tresca准则在理论应用上比较简单,故在一般的工程设计中也经常使用.Mises屈服准则考虑了中间主应力影响,是描述三维应力状态下的非线性准则,对于大多数金属,Mises准则与实验数据更加符合.M-C屈服准则能较好地描述土壤、岩石等材料的破坏行为,在岩土工程领域得到了广泛的应用,但一般来说更适用于常规应力场的岩石力学的计算,而D-P屈服准则更适用于低摩擦角或高地应力场的岩石力学的计算[8].M-C准则仅适合材料发生剪切破坏时的情况,而不适合拉断破坏,如果不考虑材料的内摩擦力,即变为Tresca屈服条件,可见M-C屈服准则是考虑材料内摩擦力情况下Tresca屈服条件的推广,也与中间主应力无关[9].另外,M-C和D-P准则均把Mohr圆包络线近似为直线,这在较小应力范围内产生误差不大,但是在高应力条件下,应力范围变化很大的时候,则可能造成较大误差.实验表明,两个准则在拉剪复合区的模拟结果与试验结果相差较远,这些都是由于包络线的线性化造成的[10].双剪应力强度理论与某些钢和铝,以及一些铸铁和混凝土的实验结果较为符合[5],三剪屈服准则的极限线和中间主应力效应曲线是非线性的,能够描述材料的非线性屈服特性,另外,也克服了双剪统一屈服准则中存在的在某些特定应力状态下会得出双重滑移面并且滑移面方向会发生变化的问题.3屈服准则发展展望材料屈服准则的应用研究,是一个复杂而重要的问题.目前,关于这一问题的现有的大量研究主要集中在各向同性和各