由模拟滤波器设计IIR数字滤波器

由模拟滤波器设计IIR数字滤波器为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器，必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器，然后将其数字化，即从s平面映射到z平面，得到所需的数字滤波器。虽然IIR数字滤波器的设计本质上并不取决于连续时间滤波器的设计，但是因为在许多应用中，数字滤波器就是用来模仿模拟滤波器功能的，所以由模拟滤波器转化为数字滤波器是很自然的是。另外，模拟滤波器的设计技巧非常成熟，不仅有封闭形式的公式，而且设计系数已经表格化。因此，有模拟滤波器设计数字滤波器的方法准确、简便，是目前最普遍采用的方法。在模拟滤波器的设计中，低通滤波器是最基本的。设计模拟滤波器的方法有多种，如巴特沃兹（Butterworth）型、切比雪夫型（Chebyshev）型、椭圆型（Elliptic）型滤波器。为了能从模拟滤波器的低通原型设计各种IIRDF,一般需如下四个步骤：1.把要求的低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）、或带阻（BS）的特征频率参数转化为模拟低通滤波器低通原型的设计参数。2.用模拟逼近的方法获的巴特沃兹、切比雪夫或椭圆模拟低通原型的传递函数Hp(s)。3.通过s平面到z平面的映射关系，由Hp(s)求出相应的数字低通的系统函数Hp(z)。4.用数字域的频率变换，从Hp(z)求出所需的数字LP、HP、BP、或BS数字滤波器的系统函数H(z)。下面将对上述四个步骤分别加以介绍。　5.2.1模拟域的频率变换在模拟滤波器的设计中，巴特沃兹、切比雪夫以及椭圆滤波器的设计都是低通逼近。所以，如果设计的滤波器不是低通，就需要将HP、BP、或BS的频率参数变换为低通原型的相应参数。这个变换是在模拟域进行的，所以叫模拟频域变换。1.低通原型的设计参数设计一个低通滤波器需要给出4个参数：通带临界频率fp(Hz)，阻带临界频率fs(Hz)，通带最大衰耗αp(dB)，阻带最小衰耗αs(dB)。这4个参数构成的低通样板图如图5.2所示。图中横坐标代表频率f(Hz)，纵坐标是相对域零频的幅值衰耗dB从零频到fp称为通带，fs到称为∞阻带，fp到fs称为过渡带。参数αp是通带中允许的衰耗值波动边界。当|H(f)|下降到|H(0)|的0.707（半功率点）时，A(f)=3dB，所以，αp最多取3dB。参数αs是阻带最小衰耗，一般在30dB～80dB之间。所设计的低通滤波器，只要器相对域零频的幅值衰耗曲线落在图中的空白出，该滤波器的性能就算合格了。需要指出的是，任何实际的滤波器与图5.1的理想滤波器器都是由距离的。理想滤波器没有过渡带，相应的冲激响应h(n)为非因果序列，而非因果系统在工程上是不可实现的。为使设计的过渡带较窄，需要提高滤波器的阶数，这就相应提高了滤波器的成本和价格。因此，在滤波器的设计中，需要综合考虑滤波器的性能及价格等因素。2.高通→低通的频率变换设计一个高通滤波器，也应给出4个参数：通带临界频率fp，阻带临界频率fs，通带最大衰耗αp，阻带最小衰耗αs（见图5.3）。其中最主要的参数是fp，它代表滤波器的截止频率。为了将给定的高通滤波器参数变换为低通原型的参数，需要将高通的阻带和通带的位置互换，并保持截止频率fp不变。这种变换是变量f的倒量变换，只有将f换成1/f，则零频变为∞，而∞变为零频，原来的高通也就成了低通。为了保持fp位置不变，可先将f除以fp，把频率点fp归一，然后球倒数，最后再乘以fp反归一，把频率点fp回归原位。所以整个过程是(归一)则变换后低通原型的通带频率为fp（不变），阻带临界频率为fsˊ=fp2/fs，αp和αs不变（见图5.4）。3.带通→低通频率变换设计一个带通滤波器，需要给出6个参数：通带上下临界频率fp1、fp2，上、下阻带临界频率fs1、fs2，通带最大衰耗αp和阻带最小衰耗αs(见图5.5)。通带上、下临界几何中心称为中心频率f0。f0=(5.13)参照图5.6，可见带通到低通的频率变换目标是：1.将通带中心频率f0变换到低通零频点：f0→0。2.将带通的半频率轴f：（0,+∞）扩展为低通频率轴fˊ(-∞,∞),宽度扩大一倍。这样低通fˊ的宽度应是（fp2-fp1）的两倍，就是即(5.14)(3)f轴上的几何对称点变换为fˊ轴上对零点的镜像对称点。频率f的几何对称点是f02/f(f02/f与f的乘积为f02)，而fˊ镜像对称点是-fˊ。就是说，如果f→fˊ，则必有f02/f→-fˊ。（4）相对位置不变，也就是指f轴上两几何对称点距离与总带宽之比应等于-fˊ轴上两像对称点的距离与总带宽之比，即(5.15)将式（5.14）代入式（5.15），可得(5.16)将f=fs2代入上式，得设fp1fp2≈fs1fs2,则因此可以得出结论，为了将给定得带通滤波器的参数变换为低通原型的参数，只要用fˊ=(f2-f02)/f代替f即可。则变换后的低通原型的通带频率为fpˊ=(fp22-fp1fp2)/fp2=fp2-fp1，阻带临界频率为fsˊ=(fs22-fs1fs2)/fs2=fs2-fs1，αp和αs不变。1.带阻→低通的变换设计一个带阻滤波器，应当由6个参数：上、下通带临界频率fp1、fp2，阻带上、下临界频率fs1、fs2，通带最大衰耗αp，阻带最小衰耗αs（见图5.7）。带通到带阻的频率变换分两倍完成：第一步与带通到低通的频率变换一样，用(f2-f02)/f代替f，将带阻变为高通，然后再进行倒量变换，将高通变为低通。则变换后的低通原型的通带临界频率为fpˊ=fs2-fs1，阻带临界频率为fsˊ=fp2-fp1，αp和αs不变。5.2.2模拟低通滤波器的设计下面讨论从已知低通原型的4个参数fp、fs、αp、αs来求取模拟低通滤波普的传递函数H（s）。1.巴特沃兹逼近（最平响应逼近）巴特沃兹（Butterworth）逼近又叫最平响应逼近，因为用这种方法设计出来的滤波器（巴特沃兹滤波器）再通带和阻带内都具有最平坦的振幅特性，其振幅平方函数是(5.18)其中，Ωc是3dB截止频率，N为滤波器阶数。N越大，则过渡带越陡（见图5.8a）。将jΩ看成是中的特例，可以将H(jΩ)解析延拓成H(s)，则式（5.18）可以写成；即（5.19）令1＋（s/jΩc）=0,且利用-1=ej(2kπ-π)，j=ej(2kπ+π/2)，可得式（5.19）的2N个极点（图5.8b）如下：,k=1,2,……，2N(5.20)结合式（5.19）和式（5.20），可以看出：（1）极点全部分布在s平面半径为Ωc的圆上，相邻极点见的夹角为π/N。（2）极点必然成对出现。因为如果sp是H(s)的根，则-sp必然是H(-s)的根。为了构造一个稳定的系统，需要系统的极点全部位于s平面的左半平面。所以，我们选取左半s平面上的极点作为H（s）的极点，而选取右半s平面上的极点作为H（-s）的极点，于是可以得到稳定的巴特沃兹滤波器的传递函数（5.21）其中为归一化常数，可由归一化条件H(s)|s=0=1求得。对于一定阶数的巴特沃兹滤波器的传递函数都有表格可查。通常表格中给出的传递函数的归一化形式，即将式（5.2.1）变形为(5.22)常用的低阶巴特沃兹传递函数间表5.1。表中的s相当与式（5.2.2）中归一化的sˋ，所以使用该表式要注意用代替表中的s/Ωc实现反归一。比如一直N=3，截止频率为Ωc，则传递函数为　因此只要知道N和Ωc就可求得巴特沃兹的传递函数H（s）。但是，怎样从设计参数fp、fs、αp、αs中得出N和Ωc呢？令Ωp=2πfp，Ωs=2πfs，由式（5.12）、（5.18）可得传输衰耗A(jΩ)=-20lg[|H(jΩ)|/|H(j·0)|]=-10lg|H(jΩ)|2=10lg[1+(Ω/Ωc)2N]式中，巴氏滤波器的零频响应H(j·0)=1。根据设计要求，Ωp出的衰耗小于等于αp，以Ω=Ωp，A(jΩ)=αs代入式（5.23），得αs=10lg[1+(Ωs/Ωc)2N]解方程，得Ωc=Ωp/(100.1)两方程相除解出将N代回式（5.24），可得。实用上，取N为大于式（5.26）得整数。2)切比雪夫逼近切比雪夫（Chebyshev）滤波器在通带和阻带一边具有等波动得特性，另一边式单调逼近。通带内具有等波动特性得称为切比雪夫型（见图5.9），阻带内具有等波动振幅特性得称为切比雪夫型。以下以切比雪夫型为例进行讨论。切比雪夫型得振幅平方函数为|H(jΩ)|2=1/[1+ε2C2N(Ω/Ωp)]这里，ε是纹波系数，用来描述波动得大小。ε一般在0～1之间，ε=0表示没有波动，ε=1表示波动达到半功率点。一般情况下，波动范围在1/(1+ε2)～1之间（图5.9）。CN表示N阶切比雪夫多项式，其定义是　CN(x)的值可由是（）直接算出，或者查图表，也可用下列递推公式C0(x)=1C1(x)=xC2(x)=2x2-1C3(x)=4x3-3x···CN(x)=2xCN(x)-CN-1(x)根据切比雪夫多项式的定义式（5.28）及振幅平方函数式（5.27）可知：1.切比雪夫型滤波器通带式等幅波动，阻带式单调的。因为通带范围是Ω：0～Ωp对应的Ω/Ωp的范围是0～1，根据式（5.28a），此时CN(Ω/Ωp)的变化式服从cos（·），即式（5.27）式表示的式等幅波动。在过渡带和阻带，由ΩΩp，根据式（5.28b）,此时CN(Ω/Ωp)的变化服从双曲余弦函数ch（·），是单调的。2.在区间（0，Ωp）上，C2N(Ω/Ωp)有（N+1）个极值点，|H(jΩ)2上下波动N次。3.在零域（Ω=0）处，这就是说，切比雪夫型的振幅平方函数有以及　令式（5.27）中的分母为零，可以证明切比雪夫型幅度平方函数的极点为spk=σk+jΩk,k=1,2,···,2N其中σk=-ΩpshξsinΦkΩk=ΩpchξcosΦk其中这些极点必定满足方程　这是一个椭圆方程。由于双曲余弦总是大于双曲正弦，所以切比雪夫模拟滤波器的极点位于s平面长轴Ωpchξ（在虚轴上）、短轴为Ωpshξ（在实轴上）的椭圆上，见图5.9。取所有左半平面的极点构成切比雪夫滤波器的传递函数　其中常数，以使滤波器的零频响应为1。　　有了上面的公式，就可以由给定的低通参数Ωp、Ωs、αp、αs来设计切比雪夫滤波器了。完整的设计步骤如下：1.传输衰耗A(jΩ)=-10lg|H(jΩ)|2以Ω=Ωp，A(jΩ)=αp及Ω=Ωs，A(jΩ)=αs两组数据代入，得2.式（5.27）代入式（5.33）这里用到C2N(1)=1。从上式解出　3.式（5.27）代入式（5.34）解得　上式中，由于ΩsΩp,Ωs/Ωp1,用式(5.28b)可直接从C2N(Ωs/Ωp)得出连等式得最后一项。解连等式最后二项所组成得方程，得　至此，ε，N，Ωp已知。4.由式（5.30）算出切比雪夫滤波器得极点，将全部左半平面点代入式（5.32），可得切比雪夫滤波器得传递函数H（s）。3）椭圆滤波器椭圆（Elliptic）滤波器又叫考尔（Cauer）滤波器，其特点是在通带和阻带内都具有等波动振幅特性。它的振幅平方函数为|H(jΩ)|2=1/[1+ε2J2N(Ω)]ε是纹波函数，JN(Ω)是雅可比椭圆函数（JacobinEllipticFunction）这真是这种滤波器称为椭圆滤波器得原因。椭圆滤波器的零极点分析比较复杂，这里不加讨论。从应用角度，在已知滤波器参数Ωp、Ωs、αp、αs以及ε后如何计算H（s），可参见[5]。以上滤波器，就同种滤波器而言，总是阶数越高过渡带越窄，曲线越陡。三种滤波器之间相比较，如果过渡带指标给定，一般说来椭圆滤波器的阶数可以最低，切比雪夫滤波器次之，巴特沃兹滤波器最高。而对参数的灵敏都恰恰相反，巴特沃兹最佳（不灵敏），切比雪夫居中，椭圆滤波器最差。从设计的工作量看，椭圆滤波器最大但现在运算由计算机来完成，计算工作量的问题已经无须多考虑。总的说来，应该按照技术指标来选用滤波器类型。5.2.3冲激响应不变法为了由模拟滤波器的低通原型函数的Hp（s）求出相应的数字滤波器低通原型的系统函数Hp（z），必须找出s平面域z平面的映射