历年中考圆与三角函数

二00九年202009年北京.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC=4,cosC=13时，求⊙O的半径.20．（1）证明：连结OM，则OMOB．∴12．∵BM平分ABC．∴13．∴23．∴OMBC∥．∴AMOAEB．在ABC△中，ABAC，AE是角平分线，∴AEBC⊥．∴90AEB°．∴90AMO°．∴OMAE⊥．∴AE与O⊙相切．（2）解：在ABC△中，ABAC，AE是角平分线，∴12BEBCABCC，．∵14cos3BCC，，∴11cos3BEABC，．在ABE△中，90AEB°，∴6cosBEABABC．设O⊙的半径为r，则6AOr．∵OMBC∥，∴AOMABE△∽△．∴OMAOBEAB．∴626rr．解得32r．∴O⊙的半径为32．OBGECMAF123（2009义乌）.如图，AB是0的的直径，BCAB于点B，连接OC交0于点E，弦AD//OC,弦DFAB于点G。（1）求证：点E是BD的中点；（2）求证：CD是0的切线；（3）若4sin5BAD，0的半径为5，求DF的长。7．(本题满分10分泸州市二00九如图11，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cosE的值．图1122．（本题满分8分2009武汉）如图，RtABC△中，90ABC°，以AB为直径作O⊙交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是O⊙的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OFCF，求tanACO的值．22．证明：（1）连接ODOEBD、、．AB是O⊙的直径，90CDBADB°，E点是BC的中点，DECEBE．ODOBOEOEODEOBE，，△≌△．90ODEOBE°，直线DE是O⊙的切线．（2）作OHAC⊥于点H，由（1）知，BDAC⊥，ECEB．OAOBOEAC，∥，且12OEAC．CDFOEF，DCFEOF．CFOF，DCFEOF△≌△，DCOEAD．45BABCA，°．OHADOHAHDH⊥，．13tan3OHCHOHACOCH，．182009宁波．如图，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB=4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为秒24．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于Ｅ，弧BC＝弧BD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．(1)求证:CD∥BF．CEBAOFDCEBAOFDH(2)连结BC,若⊙O的半径为4,cos∠BCD=34,求线段AD、CD的长．二000年27（2010成都）．已知：如图，ABC内接于O，AB为直径，弦CEAB于F，C是AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是ACQ的外心；（2）若3tan,84ABCCF,求CQ的长；（3）求证：2()FPPQFPFG．22.(达州市20106分)已知：如图12，在锐角∠MAN的边AN上取一点B，以AB为直径的半圆O交AM于C，交∠MAN的角平分线于E，过点E作ED⊥AM，垂足为D，反向延长ED交AN于F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若cos∠MAN=12，AE=3，求阴影部分的面积.图1222.证明：（1）DE与⊙O相切.…………………………1分理由如下：连结OE.∵AE平分∠MAN,∴∠1=∠2.∵OA=OE,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3,∴OE∥AD.∴∠OEF=∠ADF=90°,…………………………2分即OE⊥DE，垂足为E.又∵点E在半圆O上，∴ED与⊙O相切.…………………………3分（2）∵cos∠MAN=12,∴∠MAN=60°.∴∠2=12∠MAN=12×60°=30°,∠AFD=90°-∠MAN=90°-60°=30°.∴∠2=∠AFD，∴EF=AE=3.…………………………4分在Rt△OEF中，tan∠OFE=OEEF，∴tan30°=3OE，∴OE=1.…………………………5分∵∠4=∠MAN=60°，∴S阴=OEFSSS扇形OEB21601132360=3126.…………………………6分29广安市二O—O．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)点D在劣弧AC什么位置时，才能使2ADDEDF，为什么?(3)在(2)的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．23、（2010四川乐山）如图（10）AB是⊙O的直径，D是圆上一点，AD＝DC，连结AC，过点D作弦AC的平行线MN。（1）求证明人：MN是⊙O的切线；（2）已知AB＝10，AD＝6，求弦BC的长。【答案】（1）证明：连结OD，交AC于E，如图（2）所示，因AD＝DC，所以OD⊥AC又AC∥MN，所以OD⊥MN所以MN是是⊙O的切线（2）解：设OE＝ｘ，因AB＝10，所以OA=5ED＝5－x又因AD=6在直角三角形OAE和直角三角形DAE中，因OA2－OE2＝AE2－ED2，所以52－x2＝62－（5－x）2解得x＝75因AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90所以OD∥BC所以OE是△ABC的中位线，所以BC＝2OE＝275＝1451．如图，B为线段AD上一点，ABC△和BDE△都是等边三角形，连接CE并延长，交AD的延长线于F，ABC△的外接圆O交CF于点M。（1）求证：BE是O的切线；（2）求证：2ACCMCF；（3）若过点D作DG∥BE交EF于点G，过G作GH∥DE交DF于点H，则易知DHG△是等边三角形；设等边ABC△、BDE△、DHG△的面积分别为1S、2S、3S，试探究1S、2S、3S之间的数量关系，并说明理由。ABCDEMFO第26题图12．（2分）（2010•衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为π﹣4（结果保留π）．考点：扇形面积的计算。190187分析：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积，然后利用三角形的面积计算即可．解答：解：设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4，∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π×4÷2+π×1÷2﹣4×2÷2=．点评：此题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积﹣三角形的面积．6.（12分）如图，在RtABC△中，90C°，点E在斜边AB上，以AE为直径的O⊙与BC相切于点.D（1）求证：AD平分.BAC（2）若34.ACAE，①求AD的值；②求图中阴影部分的面积.6.（1）证明：连接OD，则OAOD，DAOODA.·······················································································1分BC是O⊙的切线，.ODBC⊥ACBCODAC⊥，∥，···································2分.CADODADAOCADAD，平分.BAC···················4分（2）①连结ED，AE为直径，90ADEC°．又由（1）知DAOCADADEACD，△∽△，·······································6分ADACAEAD，·························································································7分34ACAE，，23412ADAEAC·，1223AD．·················································································8分②在RtADE△中，233cos42ADDAEAE，30DAE°．······················································································9分1202.AODDE°，1113.222AODADESSADDE△△···················································10分2120π24π.3603AODS扇形=········································································11分4π3.3AODAODSSS△阴影扇形=··························································12分ABDOCFGl21．(8分攀枝花市2010)如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AC⌒＝AD⌒，CD交AB于E，BF⊥直线l，垂足为F，BF交⊙O于G．(1)图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；(2)若sin∠CBF＝55，AE＝4，求AB的值．23．如图：把一张给定大小的长方形卡片ABCD放在宽度为10mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α＝32°，求长方形卡片的周长。（参考数据sin32°≈0.5cos32°≈0.8tan32°≈0.6）23．解：作AF⊥l4，交l2于E，交l4于F………………………………………………（1＇）则△ABE和△AFD均为直角三角形…………………………………………（2＇）在Rt△ABE中，∠ABE＝∠α＝32°sin∠ABE＝ABAE………………………………………………………………（3＇）∴AB＝32sin20＝5.020＝40……………………………………………………（4＇）∵∠FAD＝90°－∠BAE∠α＝90°－∠BAE∴∠FAD＝∠α＝32°…………………………………………………………（5＇）在Rt△AFD中，cos∠FAD＝ADAF……………………………………（6＇）AD＝32cosAF＝8.040＝50……………………………………………………（7＇）∴长方形卡片ABCD的周长为（40＋50）×2＝180（mm）……………（8＇）24．如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF=43，求图中阴影部分的面积．24．（1）如图，连结CD，OC，则∠ADC=∠B=60．∵AC⊥CD，CG⊥AD，∴∠ACG=∠ADC=60．由于∠ODC=60，OC=OD，∴△OCD为正三角形，得∠DCO=60．由OC⊥l，得∠ECD=30，∴∠ECG=30+30=60．进而∠ACF=180－2×60=60，∴△ACF≌△ACG．（2）在Rt△ACF中，∠ACF=60，AF=43，得CF=4．在Rt△OCG中，∠COG=60，CG=CF=4，得