导数的计算习题课

导数计算习题课课前自主学案夯实基础求函数导数的一般步骤(1)求函数的增量Δy＝_______________；(2)求平均变化率ΔyΔx＝_____________；(3)取极限，得导数f′(x)＝___________.fx＋Δx－fxΔxlimΔx→0ΔyΔxf(x＋Δx)－f(x)知新益能1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝___f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝_____f(x)＝cosxf′(x)＝_______f(x)＝ax(a＞0)f′(x)＝___________0nxn－1cosx－sinxaxlna(a＞0)原函数导函数f(x)＝exf′(x)＝____f(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝_______(a＞0且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝1xlnaex1x2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_______________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_______________________；(3)[fxgx]′＝____________________(g(x)≠0)．由(2)可得出：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．f′xgx－fxg′x[gx]2f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)''')(),())((xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数3.复合函数求导法则课堂互动讲练求函数的导数考点突破解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量,对于复合函数应先弄清楚它是由哪些简单函数复合而成，然后遵循复合函数求导法则求导。求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx；(5)y＝lgxx.例1)52sin(2)()8(xxxfexy35.0)6()1ln()7(2xy【解】(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′＝5x4－9x2－10x.(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，∴y′＝18x2－8x＋9.(3)法一：y′＝(x－1x＋1)′＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12.法二：∵y＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1，∴y′＝(1－2x＋1)′＝(－2x＋1)′＝－2′x＋1－2x＋1′x＋12＝2x＋12.(4)y′＝(x·tanx)′＝(xsinxcosx)′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.(5)y′＝(lgxx)′＝lgx′x－lgx·x′x2＝1xln10·x－lgxx2＝1－ln10·lgxx2·ln10.22216'1'121yxxxx0.510.517'0.51'0.5xxyexe8'2'sin252sin25'2sin252cos2525'2sin254cos25yxxxxxxxxxxx已知导数值求参数值由函数f(x)的导数值确定其参数值，要正确求解f(x)的导数，利用其他条件列出等式关系，再求解．若函数f(x)＝exx在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，求c的值．例2【思路点拨】由题意建立导数值与函数值互为相反数的关系式，即可求出c的值．【解】由于f(x)＝exx，∴f(c)＝ecc，又f′(x)＝ex·x－exx2＝exx－1x2，∴f′(c)＝ecc－1c2.依题意知f(c)＋f′(c)＝0，∴ecc＋ecc－1c2＝0，∴2c－1＝0得c＝12.利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．曲线的切线方程例3【思路点拨】题中涉及三个未知量，已知三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．【解】因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.小结•会利用导数公式和导数运算法则求导数•会求简单的复合函数的导数•会利用导数解决简单的曲线的额切线问题作业1.求下列函数的导数⑴sinyxx⑵cos(2)3yx⑶lnxyx⑷*1()1nxynNx解:1cosyx解:2sin(2)3yx解:2(ln)(ln)()xxxxyx21lnxx解:2(1)(1)(1)(1)(1)nnxxxxyx12(1)(1)(1)nnnxxxx121(1)(1)nnnxnxx作业2.⑴垂直于直线2610xy且与曲线3231yxx相切的直线方程为______.⑵在曲线323610yxxx的切线中斜率最小的切线方程是_________________.320xy3110xy