1.3.1二项式定理(上课用)

1.3.1二项式定理(a+b)2(a+b)3那么将(a+b)4，(a+b)5...展开后，它们的各项是什么呢？＝C20a2+C21ab+C22b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3=a3+3a2b+3ab2+b3=a2+2ab+b2展开下面式子(a+b)2＝(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.考虑b:每个都不取b的情况有C20种,则a2前的系数为C20恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22种，则b2前的系数为C22(a+b)2=a2+2ab+b2＝C20a2+C21ab+C22b2(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数问题每个都不取b的情况有1种,即C40,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则(a+b)4＝C40a4＋C41a3b＋C42a2b2＋C43ab3＋C44b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4二项式定理?nba每个都不取b的情况有1种,即Cn0,则an前的系数为Cn0恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1恰有2个取b的情况有Cn2种，则an-2b2前的系数为Cn2......恰有r个取b的情况有Cnr种，则an-kbk前的系数为Cnr......恰有n个取b的情况有Cnn种，则bn前的系数为Cnn*C110NnbbaCbaCaCnnnrrnrnnnnn)()(2221110NnbCbaCbaCbaCaCbannnrrnrnnnnnnnn一般地,对于任意正整数n,有:二项式定理公式右边的多项式叫做的二项展开式nba)((1)各项的系数叫做二项式系数.),,2,1,0(nrCrn(2)叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,它是第r+1项.即:rrnrnbaC),,0(1NnNrnrbaCTrrnrnr(1)共有n+1项,且a,b的顺序不能调换(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0字母b按升幂排列，次数由0增加到n二项展开式的特点：(2)各项的次数都等于二项式的次数n(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnran-rbr＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)(4)二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2，…Cnr,…,Cnn是一组与二项式次数n有关的组合数，与a,b无关如(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+xn例1.126的展开式求xx661212xxxx解63121xx分析:先化简再运用公式61524336663)(2)(2)(2)xCxCxCxx1=[(24256666(2)(2)]CxCxC32236012164192240160xxxxxx=例2：(1)写出(1+2x)5的展开式(2)求(1+2x)5的展开式中的第4项(3)写出(2x+1)5的展开式中的第4项(4)写出(1+2x)5的展开式中的第4项的二项式系数，以及第4项的系数543232808040101xxxxx380x240x8010的展开式的通项是91xxrrrrrrrxCxxCT29999111例3第几项？并说明它是展开式中的的系数的展开式中含求.139xxx9-2r=3r=3x3系数是(-1)3C93=-84是第4项求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:91299399112220.TCxaxa练习(x+a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项1999219931()()()333rrrrrrrrrxTCCxx06.rr1由9-r-得26966791()322683TC解:练习的展开式常数项求933xx的系数是的展开式中例xxx52)23(14______________解：原式化为52]3)2[(xx其通项公式为rrrrxxCT)3()2(52511,1rx只需的指数为要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系数为所以x240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.求的展开式的中间两项93()3xx解:展开式共有10项,中间两项是第5、6项。4944354193()()423xTTCxx35955265193()()423xTTCxx练习课堂练习（二）.1)1()1()1()1(:.3,)1(.2..176752761778102100aaCaCaCaTxyx化简第八项的二项式系数为的展开式中项的展开式共有）二项式（10177102710)1(xC6120x6310xC710C0]1)1[(1)1()1()1()1(777675276177aaaaCaCaCa拓展练习（1）345111xxx的展开式中2x的系数（2）31nxxx的展开式中常数项为84，则n=_____19252423CCC9求近似问题015.1000009.010003.051)003.0()003.0()003.0()003.01()003.1(22511500555CCC解：问题探究1:求近似值，精确到0.001984.0?210nnnnnCCCC?420nnnCCC?531nnnCCC12n问题探究2:12nn2(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn1）注意二项式定理中二项展开式的特征2）区别二项式系数，项的系数3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项小结