中考-类比探究专项

第六讲几何类比探究（一）几何类比探究是河南中考数学的重点、难点，虽是考试难点，但依然有法可破！【知识点睛】1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．3.常见结构：【例题精讲】例1.（2015•潜江24．）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．例2.（2015•贵港26．）已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）图1ADNPECBM图2MBCEPNDA图3ADNPECBM例3.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（1）在图2中，DE与CA的延长线交于点P，则BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE与AC的延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．例4.在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD，PN⊥AB，分别交AD，AB于点E，F，请直接写出PE与PF的数量关系．（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°α45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．②如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O，B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明．③当BD=m·BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．（3）在（2）②的条件下，当∠DPM=15°时，连接EF，若正方形的边长为93，请直接写出线段EF的长．图1MNFEO(P)DCBA图2ABCDO(P)EFNM图3PABCDOEFNM【练习】1、（2015•齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点O为AB的中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC，OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系：________________；（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO=15°，BP=4，请求出BQ的长．图1图2图3ABCOPQABCOPQQPOCBA3如图，△ABC中，点E，P在边AB上，且AE=BP，过点E，P作BC的平行线，分别交AC于点F，Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）①若EP=2AE，则EF:PQ:BC=__________；②求证：EF+PQ=BC．（2）若S1+S3=S2，求PEAE的值．（3）若S3-S1=S2，直接写出PEAE的值．QPFECBA4、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE=nEA，连接CE并延长交AB于点F．（1）如图1，当∠BAC=90°，∠B=30°，DE=EA时，求FBFA的值；（2）如图2，当△ABC为锐角三角形，DE=EA时，求FBFA的值；（3）如图3，当△ABC为锐角三角形，DE=nEA时，求FBFA的值．图3图2图1FAEBDCCDBEAFEABDCF第六讲几何类比探究（二）例1.如图1，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=12AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．图2NQFEPDCBA图1NQPFEDCBA图3ABCD例2.已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m，n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A，B，当点A与点C重合时（如图1所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：____________．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l向上平移到如图2的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图3所示），已知两平行线m，n之间的距离为2k．求证：PAPBkAB．图1lmnA(C)BDP图2PDBCAnmllmnACBDP图3例3在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）记ACkBC，当k为何值时，△CPE总是等边三角形（请直接写出k的值，不必说明理由）？图1PFECBAPABCEF图2图3PCBAEF例4．（2017洛阳一模）（10分）如图①，C为线段BE上的一点，分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN（1）线段MN和GD的数量关系是，位置关系是；（2）将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC=7，CE=3，将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周，其他条件不变，直接写出MN的最大值和最小值．例5（2017开封）如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．（1）问题发现：如图1，若平行四边形ABCD为菱形，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系，请证明你的猜想．（2）类比探究：如图2，若AB：AD=1：2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：FH的比值；（3）拓展延伸：如图3，若AB：AD=1：4，请直接写出（AE+4AF）：AC的比值为．例6（2017新乡）如图1，过等边三角形ABC边AB上一点D作DE∥BC交边AC于点E，分别取BC，DE的中点M，N，连接MN．（1）发现：在图1中，=；（2）应用：如图2，将△ADE绕点A旋转，请求出的值；（3）拓展：如图3，△ABC和△ADE是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，M，N分别是底边BC，DE的中点，若BD⊥CE，请直接写出的值．例7．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O．AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．