向量平行坐标表示

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平面向量的坐标表示在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,对任意一个向量a,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj①则将向量记作a=(x,y)②复习()()1122a=x,y,b=x,y向量的坐标运算法则1212+=(+,+)abxxyy1212(,)abxxyy11(,)axy注1.位置向量坐标=终点坐标!自由向量坐标=终点坐标−起点坐标!设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),如果a∥b,那么x1y2-x2y1=0;反过来,如果x1y2-x2y1=0,那么a∥b.向量平行的坐标表示请思考:条件a≠0能去掉吗?证明a=(x1,y1),b=(x2,y2),因为a≠0,所以x1,y1不全为0.不妨假设x1≠0.(1)如果a∥b,则存在实数λ,使b=λa,即:(x2,y2)=λ(x1,y1)=(λx1,λy1),所以x2=λx1①y2=λy1②因为x1≠0,由①得③将③代入②,得,即x1y2-x2y1=0.21xλ=x2211xyyx(2)反之,如果x1y2-x2y1=0,因为x1≠0,所以.2211xy=yx(x2,y2)=(x2,)=(x1,y1),211xyx21xx令,则b=λa,所以a∥b.21xλ=x1.已知向量a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求实数y练习2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C三点之间的位置关系.3.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且P1P=mPP2,求点P的坐标.例1已知a=(1,0),b=(2,1),当实数k为何值时,向量ka-b与a+3b平行?并确定此时它们是同向还是反向.解ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3).由向量平行的条件可得3·(k-2)-(-1)·7=0,所以k=-1/3.此时,ka-b=(-7/3,-1)=-1/3(7,3)=-1/3(a+3b).因此,它们是反向的.运用例2已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0),(3,4),(-1,2),(1,1),是否存在常数t,使得OA+tOB=OC成立?解释你所得结论的几何意义.解设存在常数t,使得OA+tOB=OC,则(3,4)+t(-1,2)=(1,1),所以t(-1,2)=(1,1)-(3,4)=(-2,-3)所以此方程组无解,故不存在这样的常数t.上述结论表明向量AC与OB不平行.tt=22=3---运用练习4.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(-1,3),C(3,4),求第四个顶点D的坐标.(6,2)5.设A,B,C,D坐标依次为(−1,0),(0,2),(4,3),(3,1),则四边形ABCD是()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形D6.已知:A(1,-2),若AB与a=(2,3)同向,|AB|=213,求点B的坐标.证明:BC=(1,2)BA=(-2,-4)因为BA=-2BC,所以BA与BC共线,而BA与BC有公共点B,所以A,B,C三点共线.练习课堂小结:1.知识—向量平行的坐标表示;2.数学思想—数形结合.小结

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