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小学四年级奥数小故事一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。1+2+3+4+......+98+99+100=?老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是男孩的算法......小故事老师发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使老师——彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。卡尔·弗里德里希·高斯此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。第一讲四则运算（等差数列求和）（一）等差数列的主要内容1、等差数列的基本知识2、等差数列的项3、等差数列的和一、等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；（一）数列的基本知识（二）等差数列的基本知识（1）1、2、3、4、5、6……（2）2、4、6、8、10、12……（3）5、10、15、20、25、30（公差=1）（公差=2）（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。二、等差数列的项数列：1、3、5、7、9、11……第2项：3=1+2首项+公差×1（2-1）第3项：5=1+2×2首项+公差×2（3-1）第4项：7=1+2×3首项+公差×3（4-1）第5项：9=1+2×4首项+公差×4（5-1）第6项：11=1+2×5首项+公差×5（6-1）等差数列的通项公式：等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）等差数列的首项=末项-公差×（项数-1）适用条件：该数列一定要为等差数列等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（1）它的第10项是多少？（2）它的第98项是多少？（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：首项=2公差=3解：（1）第10项：2+3×（10-1）=29（2）第98项：2+3×（98-1）=293等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）例1已知数列2、5、8、11、14……求：（3）这个数列各项被几除有相同的余数？分析：被除数=余数+除数×商等差数列的某一项=2+3×（项数-1）规律：等差数列的某一项与被除数相对应，首项与余数相对应，公差与除数相对应，（项数-1）与商相对应。这个数列每1项除以3都余2。等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。答：这个数列第10项是29；第98项是293；这个数列各项除以3余数相同。例2已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项。分析：第2项比首项多1个公差，第3项比首项多2个公差，第4项比首项多3个公差……，那第n项比首项多（n-1)个公差。规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到这个数列的项数。等差数列的项数=公差个数+1=（末项-首项）÷公差+1这个数列的项数=（17-2）÷3+1=6小结：等差数列项的有关规律等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1练习1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第21项是多少?（2）这串数共有多少个？2、一串数：2、4、6、8、……2008。（1）它的第25项是多少?（2）这串数共有多少个？3、一串数：101、102、103、104、……199。（1）它的第30项是多少?（2）这串数共有多少个？4、一串数：7、12、17、22……。（1）它的第60项是多少?（2）这个数列各项被几除有相同的余数？练习答案：1、它的第21项=1+2×（21-1）=41；这个数列的项数=（49-1）÷2+1=25；2、它的第25项=2+2×（25-1）=50；这个数列的项数=（2008-2）÷2+1=1004；3、它的第30项=101+1×（30-1）=130；这个数列的项数=（199-101）÷1+1=994、它的第60项=7+5×（60-1）=302；这个数列各项被5除有相同的余数。（提示：等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。）二、等差数列的和例：6+10+14+18+22+26+30+34+38分析：这是一个等差数列；首项=6，末项=38，公差=4原数列的和：6+10+14+18+22+26+30+34+38倒过来的和：38+34+30+26+22+18+14+10+6444444444444444444两数列之和=（6+38）×9解：原数列之和=（6+38）×9÷2=44×9÷2=198等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2例：计算1+6+11+16+21+26+......+276分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2？等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1解：等差数列的项数：（276-1）÷5+1=56（项）原数列之和=（1+276）×56÷2=277×28=7756练习1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37（2）7+11+15+19+......+403（3）9+19+29+39+......+99（4）1+3+5+7+......+99练习答案：解：（1）这是一个等差数列；首项=7，末项=37，公差=3,项数=（37-7）÷3+1=11和=（7+37）×11÷2=242（2）这是一个等差数列；首项=7，末项=403，公差=4，项数=（403-7）÷4+1=100和=（7+403）×100÷2=20500（3）这是一个等差数列；首项=9，末项=99，公差=10，项数=（99-9）÷10+1=10和=（9+99）×10÷2=540（4）这是一个等差数列；首项=1，末项=99，公差=2，项数=（99-1）÷2+1=50和=（1+99）×50÷2=2500等差数列知识总结：怎样判断一个数列是等差数列怎样求出等差数列的任意一项或项数怎样求出等差数列前几项的和必须牢记等差数列的基本公式和重要结论1、等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）2、等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+13、等差数列的和=（首项+末项）×项数÷24、等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。