2018年高考理科数学专题十：与球体有关的问题-精品

2018年高考数学专题十：与球体有关的问题一、高考趋势分析：立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。与球相关的问题也有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，也是每年高考热点，每年高考中主要考查选择、填空题目、解答题。二、基础知识点拨：1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.方法主要是“补体”和“找球心”考试核心：性质的应用22212rROOd，构造直角三角形建立三者之间的关系。三、高考试题精练1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【考点】外接球表面积和椎体的体积．BOAC2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310解析：选C如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝522＋62＝132.3．(2018·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.答案：63π4．四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．9πB．3πC．22πD．12π解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线AC的长为22，可得a＝2，在△PAC中PC＝22222＝23，球的半径R＝3，∴S表＝4πR2＝4π×(3)2＝12π.四、典型例题精析类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题）1.15．如图球O的半径为2，圆1O是一小圆，12OO，A、B是圆1O上两点，若A，B两点间的球面距离为23，则1AOB=.（2015年理科）2.15．如图球O的半径为2，圆1O是一小圆，12OO，A、B是圆1O上两点，若1AOB=2，则A,B两点间的球面距离为（2014年文科）类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径rCc2sin，从而解决问题。3.15.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。（2014年理科）析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R，与R相关的是重要性质222drR。∵AA1=2,∴121121AAOOOOd。现将问题转化到⊙O2的半径之上。因为△ABC是⊙O2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。由余弦定理有32444cos222BACACABACABBC，由正弦定理有2sin22sinBACBCrrBACBC∴.514222drR∴2042RS。4.14．正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,AB两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为8．（2013年理科）5.12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，30BSCASC，则棱锥S—ABC的体积为C（2014年理科）A．33B．32C．3D．16.（11）已知,,,SABC是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O表面积等于A（2015年文科）（A）4（B）3（C）2（D）类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。7.15.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于74，则球O的表面积等于.（2015年文科）析：问题的解决根本——求球半径OBR。与R相关的重要性质222drR中，2r可求（∵472r∴472r）问题转化到求OCd上充分运用题目中未用的条件，2ROM，∠OMC=45°，∴22Rd于是84722RR求得22R，∴842RS8.(11)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为D（2014年理科）(A)7(B)9(C)11(D)139.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为C（2015文科）（A）0.8（B）0.75（C）0.5（D）0.25类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。10.13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是4cm．（2010年理科）11.16．长方体1111ABCDABCD的顶点均在同一个球面上，11ABAA，2BC，则A，B两点间的球面距离为3.（2015年文科）12.14．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于34．（2009年文科）13.16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为___1/3____．（2015年文科）14.15.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是22R.类型五：平面几何性质在球中的综合应用。15.（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，4AB．若3OMON，则两圆圆心的距离MN．（2015年理科）BCDANMO析：由OM=ON知，⊙M与⊙No为等圆，根据球中的重要性质∴7916222dRr又MH⊥AB得H为AB中点，∴BH=AH=2∴322BHrNHMH∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN由余弦定理有MN2=OM2+ON2－2OM·ON·cos∠MONMN2=MH2+NH2－2MH·NH·cos(π－∠MON)解得cos∠MON=21，即∠MON=3∴三角形OMN为等边三角形，∴MN=3.类型六：性质的简单应用。16.(15)已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为3，则球O的表面积等于______16π_______.（2009年文科）17.（15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23ABBC,则棱锥OABCD的体积为24。（2011年理科）18.（9）高为24的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为C（2011年理科）（A）24（B）22(C)1(D)2五、模拟试题精练1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π【答案】C2．(2015·辽宁高考)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310答案：选C3．(2018·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.答案：63π4．四棱锥P­ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．9πB．3πC．22πD．12π答案：选D.5.如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1－B1EDF的体积为________.答案(1)16a36.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22答案A7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233B.476C.6D.7答案A8.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的体积为()A.133π8B.133π6C.133π4D.133π2答案：B