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电子信息与通信工程学院实验报告实验名称随机数的产生课程名称随机信号分析姓名顾康学号U201413323日期6月6日地点南一楼东204成绩教师董燕以上为6种分布的实验结果1.均匀分布随机变量X~U(0，1)的一组样本值的模拟值一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到，通常是利用递推公式:Xn=f(Xn-1,.....,Xn-k)1.1同余法Xn+1=λXn(modM)Rn=Xn/MR1R2...Rn即为（0,1）上均匀分布的随机数列。而上述方法是伪随机的，{Rn}本质上是递推公式给定的周期序列，周期T可看做logλ（M）。解决方法是：选择模拟参数并对序列进行统计检验。1.2选择模拟参数1）周期长度取决于Xo,λ，M的选择2）通过选取适当的参数可以改善随机数的性质几组参考的取值Xo=1,λ=7,M=10^10Xo=1,λ=5^13,M=2*10^10Xo=1,λ=5^17,M=10^121.3对数列进行统计检验对应序列能否看作X的独立同分布样本，须检验其独立性和均匀性fori=2:1:size%同余法均匀分布x(i)=mod(v*x(i-1),M);y(i)=x(i)/M;endsubplot(2,3,1);hist(y,100)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(y)%以0.95的置信度估计样本的参数首先我们的标准是U~（0，1），而实验值，ACI表示ahat的范围[-0.0030,0],BCI表示bhat的范围[1.0000,1.0030]。同时样本的均值和方差分别为0.4932和0.0830，结论与理论值很接近。该样本以0.95的可信度服从（0,1）均匀分布。2.伯努利分布2.1算法原理若随机变量R服从（0,1），P(X=Xi)=PiP(0)=0,P(n)=∑PiP{P(n-1)R=P(n)}=P(n)-P(n-1)=Pn令{P(n-1)X=P(n)}={X=Xn}有P(X=Xn)=Pn从理论上讲，已经解决了产生具有任何离散型随机分布的问题。具体执行仍有困难，如X取值为无穷时。2.2算法对于伯努利分布只需用到上述算法最简单的情形，即取n为2。%伯努利分布k1=0,k2=1p1=0.2,p2=0.8;r=zeros(1,size);forj=1:1:sizeify(j)p1r(j)=k2;elser(j)=k1;endendsubplot(2,3,2);hist(r)title('伯努利分布');[PHAT,PCI]=binofit(r,1000)%以0.95的置信度检验样本参数PHAT=0.198，而PCI=[0.195,0.212]，而我设置的P=0.2，与实验结果十分接近，可见该样本的性质较好。该样本以0.95的可信度服从0.2的伯努利分布。3.正态分布3.1算法设有两个在（0,1）上独立均匀分布的随机数R1,R1;作如下变换Y1=（-2㏑R1）½COS(2πR2）Y2=（-2㏑R1）½SIN(2πR2）其逆变换为R1=exp(-(Y1²+Y2²)/2)R2=1/2πarctag(Y2/Y1)可导出Y1，Y2的联合分布函数f(Y1,Y2)=1/2πexp(-(Y1²+Y2²)/2)故知Y1，Y2相互独立且服从N（0,1）再作变换Xi=σYi+μ,可得到服从N(μ，σ)的X3.2代码%正态随机分布y=rand(1,size);z=rand(1,size);m=sqrt(-2*log(y)).*cos(2*pi.*z);n=sqrt(-2*log(y)).*sin(2*pi.*z);t=[m,n];subplot(2,3,3);hist(t,100)title('正态分布');[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(t)%以0.95置信度检验样本参数实验结果：muhat=0.0060,sigmahat=1.0080;Muci=[-0.0382,0.0502],sigmaci=[0.9777,1.0402];理论上假设的是标准正态分布，则该样本以0.95的可信度服从标准正态分布。4.指数分布4.1算法已知指数分布的分布函数为F=1-exp(-λx),F∈[0,1]。而利用服从U(0，1)的变量Y,带入方程左边反解出x：X=-log(1-y)/λ即我们得到了用均匀分布产生指数分布的方法4.2代码%指数分布y=rand(1,size);lamda=3;x=-log(1-y)/lamda;subplot(2,3,4);hist(x,30)title('指数分布')[muhat,muci]=expfit(x)%以0.95的置信度检验样本参数理论上λ取为3，而实验值muhat=0.3204,muci=[0.3015,0.3402],可得到该样本以0.95的可信度服从E(3).5.泊松分布5.1算法利用一组在（0,1）独立且同均匀分布的变量X，首先理解泊松分布的到达间隔服从指数分布：在一次独立实验中∏Xk≤exp(-λ)作为判断成功条件，输出为k，即X的次数。5.2代码%泊松分布lamda=20;p=exp(-lamda);y=zeros(1,100);forcnt=1:1:100i=0;q=1;whileq=pq=q*rand(1);i=i+1;endy(cnt)=i-1;endsubplot(2,3,5);hist(y,25)title('泊松分布')[lamdahat,lamdaci]=possifit(y)%以0.95的置信度检验样本参数注意到lamda初值被赋为20，实验值lamdahat=20.1900,Lamdaci=[19.3093,21.0707].所以样本以0.95的可信度服从P(20).6.几何分布6.1算法原理先由几何分布的定义出发P(X=k)=q^(k-1)*p;则可利用与产生泊松分布随机数相似的方法，从均匀分布入手。产生一组（0,1）独立地均匀分布随机数，分别与P比较。如果XiP,则继续X（i+1）；但如果Xk≥P,则输出K（代表比较的次数）6.2代码%几何分布y=zeros(1,100);p=0.6;q=0.4;test=0;cnt=1;whilecnt=100iftest==1x=rand(1,size);endfori=1:1:sizeifx(i)py(cnt)=i;cnt=cnt+1;test=1;breakendendendsubplot(2,3,6);hist(y,20)title('几何分布')[phat,pci]=mle(y,'distribution','geometric')%极大似然估计函数，以0.95置信度预测p我给P的初值为0.6，但是值得注意的现象是，多次运算得到的phat都在0.3左右。当改变P值后，phat仍然会分布在另一个值附近。通过pci的范围我们可以判断样本以0.95的可信度属于几何分布，但概率P并不与初值一致。我认为这可能是算法导致的，并无法保证初值P仍然是样本的概率。7.总结在这次实验中，最大的收获是体会到均匀分布随机数是很多其它类型随机数的基础，所以均匀分布随机数的质量十分重要。不仅是产生随机数，判断随机数质量的过程加深了我对所谓伪随机算法的理解，我们需要不断完善伪随机的算法以达到近似随机的效果。8.参考文献1...《MATLAB统计分析与应用》北京航空航天大学出版社