几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。公式：它分两种情况：1.得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2.m=n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：，具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。几何分布的期望，方差。高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）Ep1，（2）Dpp12，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。（1）由Pkqpk()1，知Eppqqpkqpqqkqpkk231232121()下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记Sqqkqkk12321qSqqkqkqkkk2121()两式相减，得()1121qSqqqkqkkkSqqkqqkkk1112()由01p，知01q，则limkkq0，故1231112122pqkqSqpkkklim()从而Ep1也可用无穷等比数列各项和公式Saqq111(||)（见教科书91页阅读材料），推导如下：记Sqqkqk12321qSqqkqk2121()相减，()111121qSqqqqk则Sqp11122()还可用导数公式()'xnxnn1，推导如下：12321xxkxkxxxxxxxxkk'()'()'()'()'2323()'()()()()xxxxxx1111122上式中令xq，则得1231112122qqkqqpk()（2）为简化运算，利用性质DEE22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求E2。Epqpqpkqpk22222123pqqkqk()12322221对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：kqkqkk21()'，并用倍差法求和，有12322221qqkqk()'qqqkqk2323[()]'()()()()()qqqqqqqqqqpp11211111122242433则Eppppp23222()，因此DEEppppp22222211()()利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。解：每次从袋内取出白球的概率p57，取出黑球的概率q27。的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用k表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此Pkqpkkk()()()(,,,)112757123。可见服从几何分布。所以Ep175Dpp115757142522()例2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0p1）。他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。若kk(,,,)129，则表明他前k1次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为Pk()()(,,,)()()112911019ppkpkkEppppppp112191101089()()()()[()()]()1219110189pppp用倍差法，可求得121918()()pp111191111191929929()[()]()()()()pppppppp所以Epppppppp[()()]()()119110111929910说明：本例的试验是有限次的，并且Pp()()1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。