南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案

1/5南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08级数学专业类）试卷答案序号：姓名：____学院:专业：学号：考试日期：2010年10月题号一二三四五六七八九总分累分人签名题分3099999988100得分考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每空3分，共30分)1、223300)sin(limyxyxyx=0；2、函数|2|)2()(2xxxxf不可导点的个数是1；3、1022dxxx=4；4、nnnnxn)2(321的收敛区域为[35，37）；5、设xxf1)(ln，则)(xf＝cexx；6、函数2312xx在0x处的泰勒级数为nnnnnx0112)12()1(；7、设tytxcos12，则22dxyd=34cossintttt；8、若dttexFxxxt2sin)(（0x），则)(xF=)23(123sinsinxxeex；9、交换二次积分1202),(xdyyxfdx的次序为100412)()(yydyyxfdydxyxfdy，，；10、)(limxfx存在的充要条件是0，0X,当Xx1，Xx2时，有)()(21xfxf。2/5二、证明：函数2sinx在)(，上不一致连续.证明：对210，0，221nx，nx2221xx，但是有022211sinsinxx所以，函数2sinx在)(，上不一致连续.三、设函数)(xf在],[ba上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证：)(xf在],[ba上有界.证明：[,]ab，设)(xf在处的极限为A，则0，(,)[,]xab，有|()|1fxA，从而|()|||1fxA。由{(,)|[,]}ab为],[ba的开覆盖及有限覆盖定理得，存在有限个小开区间11(,)……(,)nn也是],[ba的开覆盖。记M为1||1A，……，||1nA中的最大数，则有[,]xab，有{1,2,...,}kn，使得x(,)kk，于是|()|fxM四、设)(xf在),0[上可导，且22)(0xxexf，试证：存在(0,),使得)1()(222ef.令)()(22xfxexFx)1()()(222xexfxFx0lim)(lim022xxxxexf0)0(F0))((lim)(lim22xfxexFxxx所以)(xF在(0,)达到最大值，故存在(0,),使得0)1()()(222efF即)1()(222ef五、已知曲线积分AyxydxxdyL2)(，其中A是常数，)(x有连续一阶导数，1)1(，L是绕(0，0)点一周的任一分段光滑简单闭曲线.试求)(x及A.3/5如图所示，设C是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在C上任意取定两点A，B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA，由题设条件知0)()(22AKBMAAKBNAyxydxxdyyxydxxdy即BMABNAyxydxxdyyxydxxdy22)()(0)(2Cyxydxxdy从而有22)()(yxyyyxxx，)00()(，，yx则xx2)(Cxx2)(,由1)1(知，0C，2)(xx为了计算A,取L为单位圆周122yx，则2)11()(1222LyxLdydxxdyyxydxxdyA六、设)(xf在],[ba上可微，且0)(af，M是)(xf的上界，则Mbadxxfab)()(22.由拉格朗日定理及0)(af，知存在c(,)cab()bafxdx=()()bafcxadx()baMxadx=2()2baM于是，Mbadxxfab)()(22七、设)(yxf，在2R上有连续偏导数，且1)(2xxf，（1）若xxxfx)(2，求)(2xxfy，（2）若yxyxfy2)(2，求)(yxf，.（1）1)(2xxf，两端关于x求导，得0)(2)(22xxxfxxfyx，，当0x时，)(2xxfy，=21，又)(yxf，在2R上有连续偏导数，所以4/5)(2xxfy，=21（2）由yxyxfy2)(2，，知)()(22xyyxyxf，又由1)(2xxf，，得421)(xx所以42221)(xyyxyxf，八、设)),0([Cf，0)(dxxg绝对收敛，则00)()0()()(limdxxgfdxxgnxfnn应用积分中值公式，有)10(ndxxgfnxfdxxgfdxxgnxfnnn)()0()()()0()()(000=dtntngfntf()0()(10=dtntngfnfn10)()0()(=dxxgfnfnn0)()0()(dxxgfnfn0)()0()(由)(xf在0x处连续可知，任意0，存在N,使得0)()0()(dxxgfnfn（Nn）从而nndxxgfdxxgnxf00)()0()()(（Nn）结论对证。九、求级数1)!2()!1(!2kkkkk的和.11)2(!1)!2()!1(!2kkkkkkkk作幂级数12)2(!kkkkx0lim1kkkaa，该级数在），(收敛令12)2(!)S(kkkkxx)1(!)(S11xkkexkxx5/5121)()0()()(210xexedxexeSxSxSxxxx1121)1()2(!1)!2()!1(!2kkSkkkkkk