新课标高考真题-参数方程典型例题-高考必考

1、（08）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1：cos()sinxy为参数，曲线C2：222()22xttyt为参数。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C，2'C。写出1'C，2'C的参数方程。1'C与2'C公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。【试题解析】（１）Ｃ１时圆，Ｃ２是直线Ｃ１的普通方程为221xy，圆心Ｃ１（0,0），半径1r;Ｃ2的普通方程为20xy,因为圆心Ｃ１到直线20xy的距离为１，所以Ｃ１与Ｃ２只有一个公共点；（２）压缩后的参数方程分别为''122cos22::1sin224xxtCCtyyt为参数，为参数化为普通方程为'2'1212::22CxCyx2+4y=1，，联立消元得：222210xx，其判别式2224210；所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同；【高考考点】参数方程与普通方程的互化及应用2、（09）选修4—4：坐标系与参数方程。已知曲线C1：4cos,3sin,xtyt（t为参数），C2：8cos,3sin,xy（为参数）。（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为2t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线332,:2xtCyt（t为参数）距离的最小值。（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649xyCxyC1C为圆心是(4,3)，半径是1的圆。2C为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。（Ⅱ）当2t时，(4,4).(8cos,3sin)PQ，故3(24cos,2sin)2M3C为直线270xy，M到3C的距离5|4cos3sin13|5d从而当43cos,sin55时，d取得最小值8553、10）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线1C：{{t为参数}。图2C：{{为参数}（Ⅰ）当a=3时，求1C与2C的交点坐标：（Ⅱ）过坐标原点O做1C的垂线，垂足为A、P为OA的中点，当a变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（I）当3时，C1的普通方程为3(1)yx，C2的普通方程为221xy.联立方程组223(1),1,yxxxy解得C1与C2的交点为（1,0），13(,)22（II）C1的普通方程为sincossin0xy.A点坐标为2(sin,cossin)aaa，故当a变化时，P点轨迹的参数方程为21sin21sincos2xayaa（a为参数）P点轨迹的普通方程为2211()416xy故P点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆X=1+tcosay=tsinaX=cosy=sin4、（11）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos,22sin,xy（为参数）M是C1上的动点，P点满足2OPOM，P点的轨迹为曲线C2。（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求│AB│（I）设P(x，y)，则由条件知M(2,2YX).由于M点在C1上，所以sin222,cos22yx即sin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxy（为参数）（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为4sin，曲线2C的极坐标方程为8sin。射线3与1C的交点A的极径为14sin3，射线3与2C的交点B的极径为28sin3。所以21||||23AB.5、(122)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x＝2cosφy＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)(Ⅰ)求点A、B、C、D的直角坐标；(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围。解：(1)将45cos,55sinxtyt消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxy代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20xyxyxyy解得1,1xy或0,2.xy所以C1与C2交点的极坐标分别为π2,4，π2,2.